Topologi och geometri för allmän relativitetsteori - Chalmers ...

Där f : ¯σr → M är glatt och sådan att sr = f(¯σr). Eftersom f ∗ω är en rform
i Rr är högersidan återigen vanlig flerdimensionell integration. Hur kan
vi gå tillväga för att lösa integration över kedjor? Om vi drar oss till minnet
att en kedja är en formell summa (med reella koefficienter) av simplex, och
sedan utnyttjar vår definition av integral över simplex ovan, kan vi definiera
integralen över en allmän r-kedja. Denna blir då den formella summan av
integralerna över simplexen:
ω =
ω ,där cr =
cr
6.1.1 Stokes sats
i
ai
sr,i
Nu är vi redo att formulera en känd integralsats
i
aisr,i
Sats 6.1 (Stokes sats). Sätt ω ∈ Ωr−1 (M) och c ∈ Cr(M). Då gäller:
d ω = ω
c
Låt oss förklara några typiska bevisidéer för Stokes sats. 3 . Eftersom c
är en linjärkombination av simplex räcker det med att visa satsen för endast
ett simplex. Ett annat sätt att gå till väga i bevisgången är att utnyttja
en orienterad uppdelning av mångfalden, vilket innebär att kurvor som är
parallella men har olika orientering kommer att ta ut varandra och slutligen
återstår endast randen.
Från envariabelanalys har vi att integralen över en funktion f på ett intervall
[a, b] kan beräknas genom primitiva funktionen F genom F (b)−F (a).
Lägg märke till att {a} ∪ {b} är randen till intervallet [a, b] och observera att
ω är en generalisering av primitiv funktion till d ω. Stokes sats på mångfalder
är alltså helt analog den vi känner igen från analysen. Notera att vi utgår
från att vi har en (r-1)-form och skapar sedan en r-form genom den externa
derivatan. Det är inte säkert att en form alltid kan skrivas som derivatan av
en annan form. Vi skall nu härleda vektorfältens Stokes och Gauss sats:
Sats 6.2. Stokes sats och Gauss sats som vi känner igen dem från vektorfälten:
• Stokes vektorfältssats:
γ ∇ × Fdγ = ∂γ F · dr
• Gauss sats:
(∇ · F)dV = (F · n)dS, med ∂V = S
V
S
Både Gauss sats och det som här kallas Stokes vektorfältssats är alltså
specialfall av Stokes sats (6.1). Sammanfattningsvis är alltså denna sats en
viktig och kraftfull sats.
3 För formellt bevis, se s. 228 i Nakahara [1]
96
∂c