Topologi och geometri för allmän relativitetsteori - Chalmers ...

Kapitel 6
De Rham kohomologigrupper
De Rham kohomologi är ett betydelsefullt och intressant men krävande koncept
som tillhör algebraisk topologi och spelar en mycket viktig roll i matematisk
fysik och andra relaterade ämnen. Det är ett matematiskt verktyg
för att få ut topologisk information om glatta mångfalder. Kohomologi teori
är baserad på existensen av differentiella former med föreskrivna egenskaper.
Det som gör de Rham kohomologi speciellt är att vi erhåller topologisk
information genom att använda differentiella metoder.
Dessa strukturer är användbara för att framställa relationer mellan kedjor
och rand av något topologiskt rum eller algebraisk konstruktion. Vi presenterar
de viktigaste begreppen innan vi definierar kohomologigrupper och tar
upp deras egenskaper.
6.1 De Rham Kohomologigrupper och integraler på
mångfalder
För den fortsätta texten kommer vi att behöva förstå hur man kan tolka simplex
på mångfalder, samt deras tillhörande egenskaper i det sammanhanget.
Detta kan göras genom att avbilda ett standardsimplex ωr i R r på mångfalden
M med hjälp av en glatt funktion f. Vi definierar nu ett singulärt
r-simplex, sr, på M som bilden av f, f(σr) = sr. Vi kommer i fortsättningen
att utelämna ordet singulärt eftersom det i sammanhanget borde vara
tydligt vad vi pratar om. Vi behöver nu en ny definition av simplex eftersom
det inte finns någon bra tolkning av geometriskt oberoende på mångfalder.
Innan vi går närmare in på detta, behöver vi även omdefiniera kedjor, kedjegrupper,
randgrupper och cykelgrupper analogt med hur vi gjorde det i
avsnittet Homologi.
Definition 6.1. • En r-kedja, c, på en mångfald M är summan av rsimplexen
med reella koefficienter: cr =
i aisr,i där ai ∈ R och sr,i är
i:te r-simplexet.
94