Topologi och geometri för allmän relativitetsteori - Chalmers ...

Att vi har ordnade par innebär att (a, b) = (b, a), vilket gör ovanstående
till en korrekt mängd utan dubletter. En tvåställig relation R(x, y) på en
mängd M är en delmängd av den cartesiska produkten av mängden M med
sig själv. Vi skriver det med symboler:
Definition B.1 (Relation). R(x, y) ⊆ M × M
Man kan på motsvarande sätt definiera en-, tre- eller flerställiga relationer.
Dessa har vi dock inget intresse av i denna text. Inom matematiken är en
speciell sorts relationer särskilt användbara, de kallas ekvivalensrelationer
och definieras som följer (med den förenklade notationen ∗(x, y) ≡ x ∗ y):
Definition B.2 (Ekvivalensrelation). En relation ∗ på M är en ekvivalensrelation
om den uppfyller följande:
• Reflexivitet: a ∗ a
• Symmetri: a ∗ b ⇔ b ∗ a
• Transitivitet: a ∗ b och b ∗ c ⇒ a ∗ c
För alla a, b ∈ M
Ekvivalensrelationer partitionerar en mängd i partitioner kallade ekvivalensklasser.
En ekvivalensklass karakteriseras av att för alla element a, b
som tillhör den, gäller a ∗ b. Man skriver ekvivalensklasser som [a] där a är
ett element i klassen, kallat en representant för klassen. Alla element tillhör
någon ekvivalensklass, ty a ∗ a enligt definition B.2. Inget element tillhör
mer än en ekvivalensklass, ty om två ekvivalensklasser skulle överlappa så
gör transitiviteten att de är en och samma.
Vi ska inte diskutera begreppet avbildningar då läsaren bör känna till
detta. Vi nöjer oss med att definiera den speciella delmängd av avbildningar
som vi behöver för definitionen av grupp:
Definition B.3 (Binär operation). En binär operation * på M är en
avbildning ∗ : M × M → M
B.2 Grupper
Se kapitel 1 för teorin.
B.2.1 Additiv och multiplikativ notation
Gruppoperationer kan skrivas med den allmänna notationen ∗(a, b) = c men
det är ofta mer tilltalande att använda antingen den multiplikativa eller
den additiva notationen. I multiplikativ notation skrivs a · b som ab och
a · a · a · a · ... · a som a n . I additiv notation förkortas inte operationen bort
149