Topologi och geometri för allmän relativitetsteori - Chalmers ...

More documents

Recommendations

Info

Denna definition utnyttjar att tensorproduktrummet ⊗V k ⊗l V ∗ är isomorft med rummet av alla linjära avbildningar från ⊗lV till ⊗kV . Detta borde kännas naturligt, eftersom rummet av alla linjära avbildningar från ⊗lV till ⊗kV är isomorft med rummet av alla multilinjära avbildningar V l till V k . Vår första definition var just att en (k,l)-tensor är en multilinjär funktion T k l : V l → V k . Vi har nu gått igenom flertalet olika definitioner av tensorbegreppet och härefter kommer några korta punkter vi vill belysa lite extra. En tensor är ett geometrisk begrepp, vilket visas genom dess transformationsregler. En tensor är också en generalisering av tidigare kända begrepp och sist så ser vi att det finns många synsätt att se på samma objekt. 2.3 Lite kort om typer samt manipulationer av tensorer Detta avsnitt är till för att ge mer inblick i tensorer och vi kommer att återkomma till mycket av innehållet här i senare delar av denna rapport. Vi har redan tagit upp kovarianta och kontravarianta tensorer, vilka är (k, 0)tensorer och (0, l)-tensorer respektive. Låt oss se några andra användbara och vanliga klassifieringar av tensorer. Definition 2.8. En symmetrisk tensor är en tensor som är invariant under permutationer av dess vektorargument, dvs om Ti1i2...ik = Tiσ1iσ2...iσk , där σ betecknar en permutation. En symmetrisk tensor är alltså en tensor som är likadan oavsett ordning på sina index. Detta är en smidig egenskap eftersom det då är möjligt att kasta om index i uttryck utan att ändra uttrycken i fråga, vilket kan underlätta uträkningar. Ett exempel på en symmetrisk tensor är metriktensorn - avståndet är samma oavsett i vilken ordning det skrivs. Metriktensorn är en (0,2)-tensor. Precis som för matriser går det att diagonalisera en symmetrisk tensor av rank 2, med det menar vi att det är möjligt att skriva en symmetrisk tensor T av rank 2 definierad på ⊗ 2 V som: där vi ∈ V . T = ±vi ⊗ vi i Definition 2.9. En antisymmetrisk, även kallad alternerande, tensor på två argument in och in+1 är en tensor som byter tecken då in och in+1 byter plats: Ti1i2...inin+1...ik = −Ti1i2...in+1in...ik Exempel på detta är elektromagnetiska tensorn. 21
Definition 2.10. En totalt antisymmetrisk tensor är en tensor som är antisymmetrisk över alla sina argument. Här har vi ett klassiskt exempel i Levi-Civita-tensorn , vilken är definierad enligt ɛ abc... ⎧ ⎪⎨ 1 om a b c ... är en jämn permutation = −1 om a b c ... är en udda permutation ⎪⎩ 0 annars Precis som för symmetri är antisymmetri en egenskap som ofta underlättar uträkningar. 2.3.1 Manipulationer Spåret av en tensor är, i full analogi med linjär algebra, skalären som bildas genom att summera elementen på diagonalen tr(T ) = Tii. Notera att definitionen ovan gäller för tensorer av rank 2. Det är möjligt att definiera spåret av en tensor med rank > 2, men det kommer vi inte att göra här. Vi kan även transformera om tensorer från kovarianta till kontravarianta, och vice versa, vilket ses genom att index höjs och sänks. För att göra detta använder vi metriktensorn. Låt A vara en (1, 1)-tensor, och g ij vara inversen till metriktensorn gij. Aca = gcbA b a A db = g da A b a 22
Page 1 and 2: Topologi och geometri för allmän
Page 3 and 4: Sammanfattning Denna rapport är en
Page 5 and 6: R De reella talen C De komplexa tal
Page 7 and 8: 4.2.1 Homologigrupper . . . . . . .
Page 9 and 10: B.4 Integritetsområden . . . . . .
Page 11 and 12: Rummet omfattar numera inte bara de
Page 13 and 14: Kapitel 1 Grupper Den algebraiska s
Page 15 and 16: samma antal element vilket vidare i
Page 17 and 18: Definition 1.7 (Kvotgrupp). Låt H
Page 19 and 20: Kapitel 2 Tensorer Stora delar av d
Page 21 and 22: Innan vi fortsätter behöver vi de
Page 23: inversen till basen - roterar en ba
Page 27 and 28: den specifika topologin är underf
Page 29 and 30: 3.1.2 Homeomorfismer De kontinuerli
Page 31 and 32: Figur 3.1: Några viktiga ytor. Fig
Page 33 and 34: Del II Huvuddel 30
Page 35 and 36: Figur 4.1: En sfär med genus ett o
Page 37 and 38: Figur 4.2: Exempel på en karta med
Page 39 and 40: I R n finns den evivalenta tolkning
Page 41 and 42: Vi skapar en n-kedja genom att län
Page 43 and 44: Figur 4.4: Två cirklar på en cyli
Page 45 and 46: Figur 5.1: Mångfald med områden s
Page 47 and 48: Figur 5.2: Avbildning mellan mångf
Page 49 and 50: Figur 5.4: Diagram över avbildning
Page 51 and 52: Figur 5.6: Lokala koordinater. Obse
Page 53 and 54: Nu kan vi skriva en godtycklig linj
Page 55 and 56: Figur 5.8: Ett skalärfält. Lägg
Page 57 and 58: Figur 5.10: Inducerad avbildning: f
Page 59 and 60: Definition 5.8 (Integralkurva). Lå
Page 61 and 62: vi för en infinitesimal tidsutveck
Page 63 and 64: Själva formen på liederivatan L
Page 65 and 66: 5.3.2 Geometrisk tolkning av Lieder
Page 67 and 68: Vi har nu fått 2 = 0 + ɛ ˜ X(0)
Page 69 and 70: Vi vet också att dessa integraler
Page 71 and 72: kilprodukten. Vi kommer även att d
Page 73 and 74: T verkar nu linjärt på varje : T
Page 75 and 76:
eftersom summan innehåller samma t
Page 77 and 78:
Extern derivata För att kunna inf
Page 79 and 80:
Bevis 5.4 (i). Enligt (5.153) har v
Page 81 and 82:
5.4.7 Integration av differentialfo
Page 83 and 84:
5.5 Liegrupper och Liealgebra Om pu
Page 85 and 86:
1. [X, Y ] är bilinjär 2. [X, X]
Page 87 and 88:
Sambanden (5.180) och (5.182) sätt
Page 89 and 90:
av O(n) samma som liealgebran av SO
Page 91 and 92:
• exp : gl(n, R) → GL(n, R) •
Page 93 and 94:
Vi har e tA = P e tD P −1 ⎛ 1
Page 95 and 96:
Möbiustransformationer 11 är grun
Page 97 and 98:
Kapitel 6 De Rham kohomologigrupper
Page 99 and 100:
Där f : ¯σr → M är glatt och
Page 101 and 102:
Man kan fråga sig om inte det omv
Page 103 and 104:
Energins flöde från Solen genom y
Page 105 and 106:
Figur 6.1: Integration av en 2-form
Page 107 and 108:
Ett element i kohomologigruppen bes
Page 109 and 110:
6.3.1 Poincarés dualitet Innan vi
Page 111 and 112:
6.4.2 Künneths formel Künneths fo
Page 113 and 114:
för godtyckliga vektorer U, V i p.
Page 115 and 116:
gφ,φ =< fφ, fφ > = [(−R sin
Page 117 and 118:
7.3 Parallellförflyttning Vi har r
Page 119 and 120:
7.5 Levi-Civita-konnektionen Efters
Page 121 and 122:
Definition 7.10. Kurvaturtensorn 5
Page 123 and 124:
Vi börjar med att beräkna konnekt
Page 125 and 126:
Ekvation 7.20 blir nu på komponent
Page 127 and 128:
Tangentvektorerna för kurvorna avb
Page 129 and 130:
Kovektorer Kovektorerna relateras p
Page 131 and 132:
Operatorn ∗ brukar kallas för Ho
Page 133 and 134:
Nu kan summationen utföras enklare
Page 135 and 136:
En r-form ω kallas harmonisk om
Page 137 and 138:
Kapitel 8 Tillämpningar i allmän
Page 139 and 140:
som är noll. Det är enkelt att se
Page 141 and 142:
där k = −1, 0, 1 beroende på om
Page 143 and 144:
∂0Γλ 0λ + Γη00Γλ λη −
Page 145 and 146:
Litteraturförteckning [1] Nakahara
Page 147 and 148:
Del III Bilagor 144
Page 149 and 150:
Projective plane Projektiva planet
Page 151 and 152:
Bilaga B Algebraiska objekt och mä
Page 153 and 154:
utan a + b skrivs a + b. Upprepade
Page 155 and 156:
De reella talen uppfyller precis de
Page 157 and 158:
är en väldefinerad matris. Bevis
Page 159 and 160:
• Gaugning av U(1) och SU(2) Övr
Page 161 and 162:
fri abelsk grupp, 13 Konform strukt
show all

Topologi och geometri för allmän relativitetsteori - Chalmers ...

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?