Topologi och geometri för allmän relativitetsteori - Chalmers ...

Steg 1
Figur 5.13: Bild till avsnitt Steg 1
Studera nu en integralkurva (t) genom en punkt 0 = (0) i ett lokalt
koordinatsystem på mångfalden M med avseende på ett vektorfält ˜ X().
För små ɛ kan man då skriva
1(ɛ) = (0) + ɛ d
dt |t=0 + O(ɛ 2 ) (5.88)
Nu är (t) en integralkurva, dvs riktad längs ett vektorfält ˜ X() i punkten
0. Detta ger oss
enligt definition.Vi ser även från figur 5.13 att
Steg 2
d
dt |t=0 = ˜ X(0) (5.89)
⇒ 1 = 0 + ɛ ˜ X(0) (5.90)
Nu undersöker vi geometrin när man bildar motsvarigheten till parallellogram.
De två riktningarna i parallellogrammet kan då definieras med avseende
på två olika vektorfält, utgående från punkten 0. Se figur 5.14. Vi går
två vägar
Väg 1: 0 → 1 → 2
Väg 2: 0 → 3 → 4
(5.91)
(5.92)
och bildar skillnaden (4 − 2) som blir ett mått på hur stort ”gapet” i
det ofullständiga parallellogrammet blir. Väg 1: Först går vi från 0 → 1.
Enligt (5.90) ovan har vi
1 = 0 + ɛX(0)
Därefter 1 → 2 längs ˜ Y (1), dvs 2 = 1 + δ ˜ Y (1). Sätt in 1
⇒ 2 = 0 + ɛ ˜ Y (0) + δ ˜ Y [0 + ɛ ˜ X(x)0] = {enligt (5.86) ovan} =
= o + ɛ ˜ X(0) + δ[ ˜ Y (0) + ɛD ˜ Y (0) · ˜ X(0)] (5.93)
63