Topologi och geometri för allmän relativitetsteori - Chalmers ...

Definition 7.10. Kurvaturtensorn 5 R(X, Y )Z definieras enligt:
R(X, Y )Z ≡ ∇X∇Y Z − ∇Y ∇XZ − ∇ [X,Y ]Z
Vad Kurvaturtensorn mäter är hur en vektor (Z här ovan) förändras om
den flyttas längs en sluten infinitesimal kurva, vilket formellt kan ses som:
Om vi har två kommuterande vektorfält X och Y , och flyttar vektorn
Z ∈ Tx0M ∆t tid längs fältet X’s flöde och sedan ∆t tid längs Y ’s flöde,
och sedan lika lång tid i −X’s flöde och till slut −Y ’s flöde, så kommer vi
tillbaka till samma punkt (vi antar här att fälten kommuterar). Då mäter
R(X, Y )Z hur Z har förändrats vid denna flytt.
Vi vill kunna behandla detta helt generellt, och därmed måste vi försöka
undvika kravet på att fälten X och Y ska kommutera. Detta innebär att
vi även behöver transportera Z längs kommutatorn [X, Y ] för att komma
tillbaka till samma punkt.
Kurvaturtensorn (en (1, 3)-tensor) tar in tre vektorer, två för riktningar
och en som ska utvärderas, och den ger ut en vektor. Vektorn som ges ut ger
ett mått på hur mycket den utvärderade vektorn ändras i en förflyttning i
ett infinitesimalt parallellogram av de två andra vektorernas.
När vi nu har fått lite förståelse för hur kurvaturtensorn fungerar, skall
vi undersöka vilka matematiska samband vi kan härleda utifrån detta. Vi
börjar med några enklare sådana
Sats 7.2. • R(X, Y ) = −R(Y, X)
• 〈R(X, Y )Z, W 〉 = −〈R(X, Y )W, Z〉
Den första av de två inses genom antisymmetri, den andra genom Liealgebran.
Dessa två kan kan kombineras för att ge
Sats 7.3 (Bianchi identiteterna). .
[R(X, Y )Z, W ] = [R(Z, W )X, Y ]
• R(X, Y )Z + R(Z, X)Y + R(Y, Z)X = 0
• (∇XR)(Y, Z)V + (∇Y R)(Z, X)V + (∇ZR)(X, Y )V = 0
Vi kommer inte att bevisa någon av dessa identiteter 6 , utan kommer
istället att ge bevisidé för första identiteten:
5 Ibland skiljer man på Riemanns kurvaturtensor och Kurvaturtensorn, där den förstnämnda
är (0,4)-tensorn skapad genom att använda metriken på den sistnämnda, i enlighet
med Manipulationer i 2
6 För formell behandling av identiterna samt bevis se s. 269 i [1]
118