Topologi och geometri för allmän relativitetsteori - Chalmers ...

Figur 4.1: En sfär med genus ett och en sfär med en korshuva.
För att bäst förklara vad homologigrupper är och hur de beräknas börjar
vi från grunden. Homologigrupper är en generalisering av något som kallas
Eulerkarakteristik, varför vi börjar med att förklara den.
4.1 Eulerkarakteristik
Definition 4.1 (Eulerkarakteristiken till en månghörning). Eulerkarakteristiken
till en månghörning P är χ(P ) = V − E + F där V är antalet hörn,
E är antalet kanter och F är antalet sidor i månghörningen.
Eulerkarakteristiken ger ett sätt att mäta på vilket sätt en månghörning
är kan byggas upp av trianglar, detta eftersom om man tar bort en
triangel från en månghörning förändras inte dess eulerkarakteristik. Trots
att eulerkarakteristiken enbart mäter en månghörnings uppbyggnad är den
användbar därför att man inom topologin ofta undersöker samband mellan
olika kroppar, och då med avseende på deras topologiska egenskaper. Eulerkarakteristiken
ändras inte under homeomorfismer, vilket betyder att om två
kroppar har olika χ skiljer sig deras topologiska egenskaper från varandra.
Sats 4.2 (Eulers formel). Alla konvexa 1 månghörningar har Eulerkarakteristik
2.
Det betyder att alla konvexa månghörningar är lika med avseende på
eulerkarakteristiken. Här kommer ett illustrativt bevis 2 .
Bevis 4.1. Vi tänker oss att vi har en konvex månghörning. Satsen säger
att för denna godtyckliga månghörning gäller efter uppenbar omskrivning
E = V + F − 2.
Vi föreställer oss att månghörningen är en planet som svävar i rymden. Vi
förvränger den så att hörnen sticker ut som berg, bucklar in sidorna ordentligt,
och gör kanterna olika höga. Detta kommer inte påverka dess χ eftersom
1
En konvex mängd är en mängd sådan att varje rak linje mellan två punkter i mängden
ligger i mängden
2
För de intresserade finns det en hemsida med 19 olika bevis [4]
32