Topologi och geometri för allmän relativitetsteori - Chalmers ...

• Slutenhet: a · b ∈ Z ∀a, b ∈ Z
• Associativitet: a · (b · c) = (a · b) · c ∀a, b, c ∈ Z
• Existens av identitet: 1 · a = a · 1 = a ∀a ∈ Z
Och de distributiva lagarna gäller. (Z, +, ·) är alltså en ring.
Ringar utgör en delmängd av grupper, vilket i sin tur utgör en delmängd
av magmor (plural av en magma) vilket är ett namn som införts för mängder
med en binär operation utan ytterligare villkor. Det finns ett antal namngivna
algebraiska strukturer som var och en svarar mot ett ytterligare krav
på den struktur som den är en delmängd av. Vi har här inte definierat alla
dessa och kommer inte att göra det.
B.4 Integritetsområden
I en ring kan det finnas element a,b sådana att a · b = 0. Dessa kallas nolldelare
eftersom nollan kan faktoriseras i dem, och om de hade en invers
skulle nollan vara delbar med denna! Vi kan definiera en ny struktur där vi
förbjuder nolldelare.
Definition B.5 (Integritetsområde). En kommutativ ring som saknar nolldelare
kallas för ett integritetsområde.
De reella talen är ett välbekant exempel. Vi kan även fortsätta med vårt
förra exempel:
Exempel B.2 (Integritetsområdet Z). Som vi visat är Z en ring. Multiplikationen
av heltal är dessutom kommutativ, och det finns inga heltal a, b
sådana att a · b = 0. Vi kan alltså dra slutsatsen att Z är ett integritetsområde.
Vi kräver fortfarande inte existensen av multiplikativa inverser, vilket
leder oss till att definiera ytterligare en struktur.
B.5 Kroppar
Vi ställer nu kravet att vår struktur ska ha multiplikativa inverser för alla
element utom noll.
Definition B.6 (Kropp). En kropp är en mängd K med två operationer +
och · där + bildar en abelsk grupp på K medan · på K uppfyller samtliga
kriterier för att vara en abelsk grupp,med undantag av att den additiva
identiteten saknar multiplikativ invers. Dessutom uppfyller operationerna
de distributiva lagarna.
151