Topologi och geometri för allmän relativitetsteori - Chalmers ...

1. [X, Y ] är bilinjär
2. [X, X] = 0
3. [X, [Y, Z]] + [Y, [Z, X]] + [Z, [X, Y ]] = 0
Det första och andra kravet tillsammans medför 7 att [X, Y ] = −[Y, X].
Det gåller nu att tillämpa detta på ett speciellt vektorrum som är isomorft
med ett visst tangentrum på en mångfald G, vilken utgör en liegrupp. Man
låter nu ett godtyckligt element a ∈ G verka på hela G, antingen från höger
eller från vänster. Denna avbildning G → G är en diffeomorfism och kallas för
en vänster- respektive högertranslation, eftersom varje element i G förflyttas
till ett annat element. Mer formellt skriver vi:
Definition 5.14 (Höger- och vänstertranslation). Låt a och g vara element
av en liegrupp G. Den högra translationen Ra : G → G och den vänstra
translationen La : G → G av g genom a är definerade som
Rag = ga (5.176)
Lag = ag (5.177)
En sådan avbildning inducerar en avbildning mellan tangentplanen i
punkterna g och ag på mångfalden. Detta skrivs
La∗ : TgG → TagG (5.178)
Ra∗ : TgG → TgaG (5.179)
Höger- och vänstertranslationerna ger ekvivalenta teorier och därför kommer
vi fortsättningsvis bara behandla den vänstra translationen. En intressant
observation är att de båda translationerna kommuterar med varandra,
vilket vi verifierar här nedan. Låt a, b, g ∈ G, då gäller:
La ◦ Rbg =agb = Rb ◦ Lag
⇔ La(gb) =agb = Rb(ag)
Lägg också märke till att dessa translationer i allmänhet inte kommuterar
med sig själva.
La ◦ Lb = Lb ◦ La och Ra ◦ Rb = Rb ◦ Ra
Observera även hur sammansättningen av dessa avbildningar beter sig.
La ◦ Lb = Lab och Ra ◦ Rb = Rba
La∗ ◦ Lb∗ = Lab∗ och Ra∗ ◦ Rb∗ = Rba∗
För V ∈ TgG och W ∈ TagG kan man då skriva La∗V = W . Med dessa
beteckningar illustrerar vi avbildningen helt analogt med tidigare avsnitt om
inducerade avbildningar 5.2.6, se figur 5.5.1.
7 Se C för bevis
82