Topologi och geometri för allmän relativitetsteori - Chalmers ...

More documents

Recommendations

Info

7.8.1 Definition av basvektorerna Vi utgår från vår koordinatbas {eµ} = {∂/∂x µ } och dess dualbas {dx µ }. Vi tar en rotationsmatris {e µ α ∈ GL(m, R) : dete µ α > 0} och roterar koordinatbasen med denna: êα = e µ ∂ α ∂x µ (7.34) Vi måste ställa ytterligare ett krav på basen för att den ska vara bra, nämligen att den är ortonormal med avseende på vår metrik: g(êα, êβ) = e µ αe ν β gµν = δαβ ηαβ (7.35) Vi ser här också att inverserna av rotationsmatriserna ger oss metriken när de multipliceras med δ eller η. Nu inför vi på samma sätt som tidigare (avsnitt 5.2) en dualbas, som vi kallar { ˆ θα }. Denna införs genom att kräva < ˆ θα , êβ >= δα β (eller ηα β ) vilket ger oss: ˆθ α = e α µdx µ (7.36) Notera att vi här använder den inversa matrisen jämfört med föregående definition. Vi använder konventionen att ta index från början av alfabetet (α, β, γ, δ, ...) till icke-koordinatbasen och index från mitten av alfabetet κ, λ, µ, ν, ... till koordinatbasen. Elementen i koefficientmatrisen e µ α kallas vierbeins för fyrdimensionella mångfalder och vielbeins för mångdimensionella dito (från tyska vier = fyra och viel = många.) Metriken relateras till icke-koordinatbasens vektorer genom följande två samband: gµν = e µ αe ν β δαβ g = δαβ ˆ θ α ⊗ ˆ θ β 7.8.2 Transformation av objekt till icke-koordinatbasen Vektorer (7.37) Enligt vår konvention för index är V µ en vektor i koordinatbas medan V α är samma vektor i icke-koordinatbas. V ska vara samma vektor oavsett bas, men dess komponenter relateras på samma sätt som motsvarande basvektorer, nämligen genom multiplikation med vierbein: V µ = V αe µ α V α = eα µV µ (7.38) 125
Kovektorer Kovektorerna relateras på motsvarande sätt vilket låter oss transformera differentiella former till icke-koordinatbasen, detta ses direkt från vår definition av kovektorerna ˆ θ. Konnektionen Konnektionskoefficienterna definieras i icke-koordinatbasen på samma sätt som i koordinatbasen: ∇αêβ ≡ ∇êα êβ = Γ γ αβ êγ (7.39) Det vill säga de kovarianta derivatorna av basvektorerna med avseende på varandra. Vi är också intresserade av att relatera dessa konnektionskoefficienter till motsvarande i koordinatbasen. Om vi sätter in êα = e µ αeµ får vi: ∇êα êβ = e µ α(∂µe ν β + eλ β Γν µλ )eν = Γ γ αβ eν γeν (7.40) lägg märke till att e med ett index är en basvektor medan e med två index är ett vielbein. Faktorn inom parentesen är ∇µeν β , så om vi bryter ut konnektionskoefficienten i sista termen får vi det önskade uttrycket Γ γ αβ = eγ νe µ α∇µe ν β 126 (7.41)
Page 1 and 2:
Topologi och geometri för allmän
Page 3 and 4:
Sammanfattning Denna rapport är en
Page 5 and 6:
R De reella talen C De komplexa tal
Page 7 and 8:
4.2.1 Homologigrupper . . . . . . .
Page 9 and 10:
B.4 Integritetsområden . . . . . .
Page 11 and 12:
Rummet omfattar numera inte bara de
Page 13 and 14:
Kapitel 1 Grupper Den algebraiska s
Page 15 and 16:
samma antal element vilket vidare i
Page 17 and 18:
Definition 1.7 (Kvotgrupp). Låt H
Page 19 and 20:
Kapitel 2 Tensorer Stora delar av d
Page 21 and 22:
Innan vi fortsätter behöver vi de
Page 23 and 24:
inversen till basen - roterar en ba
Page 25 and 26:
Definition 2.10. En totalt antisymm
Page 27 and 28:
den specifika topologin är underf
Page 29 and 30:
3.1.2 Homeomorfismer De kontinuerli
Page 31 and 32:
Figur 3.1: Några viktiga ytor. Fig
Page 33 and 34:
Del II Huvuddel 30
Page 35 and 36:
Figur 4.1: En sfär med genus ett o
Page 37 and 38:
Figur 4.2: Exempel på en karta med
Page 39 and 40:
I R n finns den evivalenta tolkning
Page 41 and 42:
Vi skapar en n-kedja genom att län
Page 43 and 44:
Figur 4.4: Två cirklar på en cyli
Page 45 and 46:
Figur 5.1: Mångfald med områden s
Page 47 and 48:
Figur 5.2: Avbildning mellan mångf
Page 49 and 50:
Figur 5.4: Diagram över avbildning
Page 51 and 52:
Figur 5.6: Lokala koordinater. Obse
Page 53 and 54:
Nu kan vi skriva en godtycklig linj
Page 55 and 56:
Figur 5.8: Ett skalärfält. Lägg
Page 57 and 58:
Figur 5.10: Inducerad avbildning: f
Page 59 and 60:
Definition 5.8 (Integralkurva). Lå
Page 61 and 62:
vi för en infinitesimal tidsutveck
Page 63 and 64:
Själva formen på liederivatan L
Page 65 and 66:
5.3.2 Geometrisk tolkning av Lieder
Page 67 and 68:
Vi har nu fått 2 = 0 + ɛ ˜ X(0)
Page 69 and 70:
Vi vet också att dessa integraler
Page 71 and 72:
kilprodukten. Vi kommer även att d
Page 73 and 74:
T verkar nu linjärt på varje : T
Page 75 and 76:
eftersom summan innehåller samma t
Page 77 and 78: Extern derivata För att kunna inf
Page 79 and 80: Bevis 5.4 (i). Enligt (5.153) har v
Page 81 and 82: 5.4.7 Integration av differentialfo
Page 83 and 84: 5.5 Liegrupper och Liealgebra Om pu
Page 85 and 86: 1. [X, Y ] är bilinjär 2. [X, X]
Page 87 and 88: Sambanden (5.180) och (5.182) sätt
Page 89 and 90: av O(n) samma som liealgebran av SO
Page 91 and 92: • exp : gl(n, R) → GL(n, R) •
Page 93 and 94: Vi har e tA = P e tD P −1 ⎛ 1
Page 95 and 96: Möbiustransformationer 11 är grun
Page 97 and 98: Kapitel 6 De Rham kohomologigrupper
Page 99 and 100: Där f : ¯σr → M är glatt och
Page 101 and 102: Man kan fråga sig om inte det omv
Page 103 and 104: Energins flöde från Solen genom y
Page 105 and 106: Figur 6.1: Integration av en 2-form
Page 107 and 108: Ett element i kohomologigruppen bes
Page 109 and 110: 6.3.1 Poincarés dualitet Innan vi
Page 111 and 112: 6.4.2 Künneths formel Künneths fo
Page 113 and 114: för godtyckliga vektorer U, V i p.
Page 115 and 116: gφ,φ =< fφ, fφ > = [(−R sin
Page 117 and 118: 7.3 Parallellförflyttning Vi har r
Page 119 and 120: 7.5 Levi-Civita-konnektionen Efters
Page 121 and 122: Definition 7.10. Kurvaturtensorn 5
Page 123 and 124: Vi börjar med att beräkna konnekt
Page 125 and 126: Ekvation 7.20 blir nu på komponent
Page 127: Tangentvektorerna för kurvorna avb
Page 131 and 132: Operatorn ∗ brukar kallas för Ho
Page 133 and 134: Nu kan summationen utföras enklare
Page 135 and 136: En r-form ω kallas harmonisk om
Page 137 and 138: Kapitel 8 Tillämpningar i allmän
Page 139 and 140: som är noll. Det är enkelt att se
Page 141 and 142: där k = −1, 0, 1 beroende på om
Page 143 and 144: ∂0Γλ 0λ + Γη00Γλ λη −
Page 145 and 146: Litteraturförteckning [1] Nakahara
Page 147 and 148: Del III Bilagor 144
Page 149 and 150: Projective plane Projektiva planet
Page 151 and 152: Bilaga B Algebraiska objekt och mä
Page 153 and 154: utan a + b skrivs a + b. Upprepade
Page 155 and 156: De reella talen uppfyller precis de
Page 157 and 158: är en väldefinerad matris. Bevis
Page 159 and 160: • Gaugning av U(1) och SU(2) Övr
Page 161 and 162: fri abelsk grupp, 13 Konform strukt
show all

Topologi och geometri för allmän relativitetsteori - Chalmers ...

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

Delete template?

Save as template?