Topologi och geometri för allmän relativitetsteori - Chalmers ...

För beviset av de ovanstående relationerna se C
Låt vår enparameterdelgrupp följa ett vänsterinvariant vektorfält X, dφµ (t)
dt
X µ (φ(t)). Vänstertranslatera nu vektorfältet i punkten 0, vilket ger
(Lt∗) d
dt 0 = d
dt
.
Vi introducerar nu en inducerad differentialavbildning φ∗ : TtR → Tφ(t)G som kommer att verka på vårt vektorvält från 5.5.2, samt betecknar φ(t) = g.
Detta ger:
φ∗
φ∗
d
dt
d
dt
0
t
= dφµ (t)
dt
= dφµ (t)
dt
0
t
t
∂
∂g µ
∂
∂g µ
e
g
= X|e
= X|g
Exponentialfunktionen spelar en viktig roll i matematisk analys, men
inom differentialgeometri och topologi fokuserar vi oss på differentierbara
mångfalder och deras egenskaper. Detta betyder att vi behöver generalisera
den vanliga exponentialfunktionen till en exponentialavbildning. Exponentialavbildningen
visar sig vara avgörande för att studera liegrupper och liealgebror.
Vi har hittills lärt oss att liealgebror är definierade på tangentrummet till liegruppen
vid identitetselementet, med andra ord rummet av alla tangentvektorer
vid identitetselementet. Låt oss studera en koppling mellan liealgebror
och liegrupper genom exponentialavbildningen.
Definition 5.18 (Exponentiell avbildning). Vi låter G vara en liegrupp och
V ∈ TeG. Låt nu exponentiellavbildningen exp: TeG → G vara
exp(V ) ≡ φV (1) (5.192)
där φV (1) är enparameterdelgrupp av G definierad av ett unikt vänster-
invariant vektorfält XV , Lg∗V = XV , V ∈ TeG, g ∈ G.
g
Den exponentiella avbildningen avbildar tangentrummet till liegruppen
på liegruppen själv, TeG → G. Antag att liealgebran är en linjärisering av
liegruppen och att den exponentiella avbildningen tar oss från liealgebran
till liegruppen. Därmed delinjäriserar den exponentiella avbildningen liealgebran:
• exp : so(n) → SO(n)
• exp : sl(n, R) → SL(n, R)
87
=