Topologi och geometri för allmän relativitetsteori - Chalmers ...

utan a + b skrivs a + b. Upprepade additioner skrivs som heltalsmultipler,
a+a+a+a+...+a = na. Subtraktion brukar användas för att ange addition
med inversa elementet utan att behöva skriva ut det korrekta uttrycket med
parenteser.
B.3 Ringar
När man ger en gruppstruktur åt tal, kan man frestas att införa ytterligare
en binär operation. På de reella talen bildar addition en grupp, men även
multiplikation uppfyller många av kriterierna som definierar en grupp, så
det är naturligt att undra om det inte finns något objekt med ytterligare
struktur som svarar mot detta. Det går att definiera en sådan struktur, och
det gör vi här.
Definition B.4 (Ring). En ring är en mängd R med två binära operationer
+ och · som uppfyller följande villkor:
• (r, +) är en abelsk grupp
• (r, ·) är sluten, associativ och det existerar ett identitetselement 1 sådant
att 1 · a = a∀a ∈ R.
• De distributiva lagarna gäller: a·(b+c) = (a·b)+(a·c) och (a+b)·c =
(a · c) + (b · c).
Vi ser att denna struktur är något mer generell än exemplet (R, +, ·) då vi
inte kräver att multiplikationen ska bilda en grupp, vi accepterar frånvaron
av inverser. Detta tyder på att mer restriktiva strukturer kan definieras,
men vi börjar med att titta på ett exempel på en ring. Lägg även märke till
att en ring kan vara kommutativ under multiplikation, men den måste inte
vara det. Om en ring är kommutativ under multiplikation kallas den för en
kommutativ ring. Kommutativa ringar är en delmängd av ringar.
Exempel B.1 (Ringen Z). Heltalen Z = . . . , −2, −1, 0, 1, 2, . . . uppfyller
under addition följande regler:
• Slutenhet: a + b ∈ Z ∀a, b ∈ Z
• Associativitet: a + (b + c) = (a + b) + c ∀a, b, c ∈ Z
• Kommutativitet: a + b = b + a ∀a, b ∈ Z
• Existens av identitet: 0 + a = a + 0 = a ∀a ∈ Z
• Existens av invers: a + −a = −a + a = 0 ∀a ∈ Z
Alltså är (Z, +) en abelsk grupp. Under multiplikation har vi istället följande:
150