Topologi och geometri för allmän relativitetsteori - Chalmers ...

Vi vet också att dessa integraler är över orienterbara områden: en kurva har
två riktningar, en yta är orienterbar etc. Vi har även kända samband mellan
integraler, såsom Stokes sats (2 dimensioner):
∂S
(Axdx + Bydy) =
S
∂By
∂x
∂Ax
− dxdy. (5.106)
∂y
Vår önskan är att finna motsvarigheter till sådana samband i högre dimensioner
som dessutom går att använda för allmänna mångfalder. Innan vi
går vidare kan vi försöka gissa oss till några egenskaper som borde ingå generaliseringen.
Vi studerar ovanstående integraler: Produkten av typ dxdx
förekommer inte vilket indikerar att dxdx = 0. Detta i sin tur gäller för produkter
som är antisymmetriska, dvs vi kan förvänta oss en definition av en
produkt i stil med dx · dy = −dy · dx. Man skulle till exempel kunna skriva
som
∂B
∂x
∂By
∂x
− ∂Ax
∂y
dxdy (5.107)
Adx · dy + A∂B dy · dx. (5.108)
∂y
För att gå händelserna lite i förväg kommer vi att kalla en sådan produkt
för en kil-produkt och teckna den som
dx ∧ dy = −dy ∧ dx. (5.109)
Slutligen vill vi kunna definiera en invers till integralen, dvs en differentiering
bör att kunna få en motsvarighet bland annat till differential/integralkalkylens
teorem
b
a
df(x)
dx = f(b) − f(a) (5.110)
dx
där {a, b} är randen till en kurva mellan a och b. Vi kommer att få se en
generalisering av detta på formen
dw = w (5.111)
där w betecknar en så kallad r-form.
5.4.2 Randen
R
Innan vi går närmare in på dessa så kallade r-former och integration av
sådana behöver vi definiera en rand på en mångfald. I ett senare avsnitt
kommer vi att se att en r-form w på en orienterbar mångfald ger upphov till
den allmänna Stokes satsen.
66
∂R