Topologi och geometri för allmän relativitetsteori - Chalmers ...

More documents

Recommendations

Info

Bilaga C Utelämnade bevis C.1 Tensorer. Definition C.1. Tensorprodukten över V k betecknas ⊗ k V och definieras definieras enligt: ⊗ k V är ett vektorrum med en multilinjär avbildning ρ : V k → ⊗ k V sådan att för varje vektorrum P och varje multilinjär avbildning φ : V k → P existerar en och endast en homomorfism f : ⊗ k V → P sådan att fρ = φ C.2 Mångfalder Bevis C.1 (Jaceks bevis av egenskaper av en-parameter delgrupp). a) Låt t, s ∈ R och vi låter t = s = 0 dvs φ(0)φ(0) = φ(0), vi dividerar ekvationen med φ(0) och vi får φ(0) = φ(0) φ(0) = e. b) Vi låter nu s = −t och vi finner att φ(t)φ(−t) = φ(0) genom att dividera likheten med φ(t) får vi den sökta relationen φ(−t) = φ(0) φ(t) där e beteckar som vanligt ett neutralt element. = e φ(t) = φ−1 (t) Lemma C.1 (Konvergens lemma av matrisexponential). Låt A = (aij) vara (reell eller komplex) n × n matris och låt Om Ap = (a (p) ij ), då |a (p) ij | ≤ (nµ)p ∀i, j, 1 ≤ i, j ≤ n vilket medför att n 2 serien konvergerar absolut och matrisen p≥0 a (p) ij p! e A = p≥0 153 A p p!
är en väldefinerad matris. Bevis C.2 (Konvergens av matrisexponential). Beviset är genom induktion på p [9]. För p = 0, har vi A 0 = In,(nµ) 0 = 1. Vidare antar vi att dvs ∀i, j, 1 ≤ i, j ≤ n då får vi a (p+1) n ij = a (p) ik akj ≤ k=1 |a (p) ij | ≤ (nµ)p n k=1 |a (p) ik ||akj| ≤ µ n k=1 |a (p+1) ij | ≤ (nµ) p+1 , ∀i, j, 1 ≤ i, j ≤ n. För varje par (i, j) så som 1 ≤ i, j ≤ n, eftersom serien |a (p) ij | ≤ (nµ)p , p≥0 avgränsas av den konvergerande serien |a (p) ij | p! enµ = (nµ) p p! p≥0 och är därför absolut konvergent. Detta visar att är väldefinierad. e A = k≥0 A k k! Bevis C.3 (Bevis för egenskap av liealgebra). 0 = [X + Y, Y + X] (enligt 2) = |a (p) ik | ≤ nµ(nµ)p = [X, X] + [X, Y ] + [Y, X] + [Y, Y ] (enligt 1) = = 0 + [X, Y ] + [Y, X] + 0 ⇒ [X, Y ] = −[Y, X] (C.1) 154
Page 1 and 2:
Topologi och geometri för allmän
Page 3 and 4:
Sammanfattning Denna rapport är en
Page 5 and 6:
R De reella talen C De komplexa tal
Page 7 and 8:
4.2.1 Homologigrupper . . . . . . .
Page 9 and 10:
B.4 Integritetsområden . . . . . .
Page 11 and 12:
Rummet omfattar numera inte bara de
Page 13 and 14:
Kapitel 1 Grupper Den algebraiska s
Page 15 and 16:
samma antal element vilket vidare i
Page 17 and 18:
Definition 1.7 (Kvotgrupp). Låt H
Page 19 and 20:
Kapitel 2 Tensorer Stora delar av d
Page 21 and 22:
Innan vi fortsätter behöver vi de
Page 23 and 24:
inversen till basen - roterar en ba
Page 25 and 26:
Definition 2.10. En totalt antisymm
Page 27 and 28:
den specifika topologin är underf
Page 29 and 30:
3.1.2 Homeomorfismer De kontinuerli
Page 31 and 32:
Figur 3.1: Några viktiga ytor. Fig
Page 33 and 34:
Del II Huvuddel 30
Page 35 and 36:
Figur 4.1: En sfär med genus ett o
Page 37 and 38:
Figur 4.2: Exempel på en karta med
Page 39 and 40:
I R n finns den evivalenta tolkning
Page 41 and 42:
Vi skapar en n-kedja genom att län
Page 43 and 44:
Figur 4.4: Två cirklar på en cyli
Page 45 and 46:
Figur 5.1: Mångfald med områden s
Page 47 and 48:
Figur 5.2: Avbildning mellan mångf
Page 49 and 50:
Figur 5.4: Diagram över avbildning
Page 51 and 52:
Figur 5.6: Lokala koordinater. Obse
Page 53 and 54:
Nu kan vi skriva en godtycklig linj
Page 55 and 56:
Figur 5.8: Ett skalärfält. Lägg
Page 57 and 58:
Figur 5.10: Inducerad avbildning: f
Page 59 and 60:
Definition 5.8 (Integralkurva). Lå
Page 61 and 62:
vi för en infinitesimal tidsutveck
Page 63 and 64:
Själva formen på liederivatan L
Page 65 and 66:
5.3.2 Geometrisk tolkning av Lieder
Page 67 and 68:
Vi har nu fått 2 = 0 + ɛ ˜ X(0)
Page 69 and 70:
Vi vet också att dessa integraler
Page 71 and 72:
kilprodukten. Vi kommer även att d
Page 73 and 74:
T verkar nu linjärt på varje : T
Page 75 and 76:
eftersom summan innehåller samma t
Page 77 and 78:
Extern derivata För att kunna inf
Page 79 and 80:
Bevis 5.4 (i). Enligt (5.153) har v
Page 81 and 82:
5.4.7 Integration av differentialfo
Page 83 and 84:
5.5 Liegrupper och Liealgebra Om pu
Page 85 and 86:
1. [X, Y ] är bilinjär 2. [X, X]
Page 87 and 88:
Sambanden (5.180) och (5.182) sätt
Page 89 and 90:
av O(n) samma som liealgebran av SO
Page 91 and 92:
• exp : gl(n, R) → GL(n, R) •
Page 93 and 94:
Vi har e tA = P e tD P −1 ⎛ 1
Page 95 and 96:
Möbiustransformationer 11 är grun
Page 97 and 98:
Kapitel 6 De Rham kohomologigrupper
Page 99 and 100:
Där f : ¯σr → M är glatt och
Page 101 and 102:
Man kan fråga sig om inte det omv
Page 103 and 104:
Energins flöde från Solen genom y
Page 105 and 106: Figur 6.1: Integration av en 2-form
Page 107 and 108: Ett element i kohomologigruppen bes
Page 109 and 110: 6.3.1 Poincarés dualitet Innan vi
Page 111 and 112: 6.4.2 Künneths formel Künneths fo
Page 113 and 114: för godtyckliga vektorer U, V i p.
Page 115 and 116: gφ,φ =< fφ, fφ > = [(−R sin
Page 117 and 118: 7.3 Parallellförflyttning Vi har r
Page 119 and 120: 7.5 Levi-Civita-konnektionen Efters
Page 121 and 122: Definition 7.10. Kurvaturtensorn 5
Page 123 and 124: Vi börjar med att beräkna konnekt
Page 125 and 126: Ekvation 7.20 blir nu på komponent
Page 127 and 128: Tangentvektorerna för kurvorna avb
Page 129 and 130: Kovektorer Kovektorerna relateras p
Page 131 and 132: Operatorn ∗ brukar kallas för Ho
Page 133 and 134: Nu kan summationen utföras enklare
Page 135 and 136: En r-form ω kallas harmonisk om
Page 137 and 138: Kapitel 8 Tillämpningar i allmän
Page 139 and 140: som är noll. Det är enkelt att se
Page 141 and 142: där k = −1, 0, 1 beroende på om
Page 143 and 144: ∂0Γλ 0λ + Γη00Γλ λη −
Page 145 and 146: Litteraturförteckning [1] Nakahara
Page 147 and 148: Del III Bilagor 144
Page 149 and 150: Projective plane Projektiva planet
Page 151 and 152: Bilaga B Algebraiska objekt och mä
Page 153 and 154: utan a + b skrivs a + b. Upprepade
Page 155: De reella talen uppfyller precis de
Page 159 and 160: • Gaugning av U(1) och SU(2) Övr
Page 161 and 162: fri abelsk grupp, 13 Konform strukt
show all

Topologi och geometri för allmän relativitetsteori - Chalmers ...

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?