Zwischen Naturschutz und Theoretischer Ökologie: Modelle zur ...
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5.2 Methodik 123<br />
v<br />
n<br />
v<br />
k<br />
k = A ⋅n<br />
( 5-2 )<br />
0<br />
Aus der Projektionsmatrix lassen sich durch Analyse ihres Eigenwertspektrums<br />
Charakteristika der Population ableiten (vgl. Caswell 1989):<br />
• Die asymptotische Wachstumsrate der Population (finite rate of population increase)<br />
wird durch den dominanten Eigenwert λ 1 der Matrix bestimmt. Dieser determiniert<br />
das asymptotische Verhalten der Population (die intrinsische Wachstumsrate<br />
entspricht ln λ 1): bei λ 1 > 1 wächst sie geometrisch bis ins Unendliche, bei<br />
λ 1 < 1 stirbt sie aus <strong>und</strong> bei λ 1 = 1 bleibt sie stabil. Dahingegen bestimmen die<br />
subdominanten Eigenwerte λ i das kurzfristige, transiente Verhalten der Population.<br />
Dieses kann bei stark dezimierten Populationen in Extinktionsnähe u.U.<br />
wichtiger sein als das asymptotische Verhalten (Burgman et al. 1993).<br />
• Die stabile Stadienverteilung u v entspricht dem (rechten) Eigenvektor der Projektionsmatrix,<br />
der dem dominanten Eigenwert λ1 zugeordnet ist. Sie wird durch Gl.<br />
( 5-3 ) definiert. Gl. ( 5-4 ) zeigt eine vereinfachte Formel <strong>zur</strong> Berechnung der<br />
Elemente von u nach Caswell (1989).<br />
v<br />
v v<br />
λ u = Au<br />
( 5-3 )<br />
1<br />
⎧<br />
⎪<br />
ui<br />
= ⎨ −<br />
λ<br />
⎪<br />
⎩<br />
i+<br />
1<br />
⋅<br />
∏ −<br />
1<br />
i 1<br />
j=<br />
1<br />
p<br />
j<br />
für i = 1<br />
für i > 1<br />
( 5-4 )<br />
Die stabile Stadienverteilung beschreibt das konstante Verhältnis der Ab<strong>und</strong>anzen<br />
der Stadien untereinander, gegen das die Struktur der Population nach hinreichend<br />
langer Projektion <strong>und</strong> unabhängig von den Anfangsbedingungen konvergiert<br />
(Caswell 1989).<br />
• Der reproduktive Wert v wird durch den linken, ebenfalls dem dominanten<br />
Eigenwert λ1 zugeordneten, Eigenvektor der Matrix festgelegt <strong>und</strong> durch Gl.<br />
( 5-5 ) definiert. Er bemißt den „Wert“ der Stadien über die von ihnen zu erwartende<br />
Nachkommenschaft <strong>und</strong> liefert den relativen Beitrag der einzelnen Stadien<br />
<strong>zur</strong> sich ergebenden Populationsgröße. Eine vereinfachte Formel <strong>zur</strong> Berechnung<br />
der Elemente von v nach Caswell (1989) zeigt Gl. ( 5-6 ).<br />
v<br />
v v<br />
λ v = vA<br />
( 5-5 )<br />
1<br />
⎛<br />
⎞<br />
1<br />
s j −1<br />
⎜ ⎟ − j +<br />
vi = ∑⎜∏ Pn<br />
F jλ<br />
⎟ ( 5-6 )<br />
j = i n = i<br />
⎝<br />
⎠<br />
• Die Sensitivität, d.h. die partielle Ableitung des dominanten Eigenwertes λ 1 nach<br />
dem Wert eines Matrixelementes (Gl. ( 5-7 ); Caswell 1978), mißt den Einfluß,<br />
den eine geringe Veränderung eines Matrixelementes auf das asymptotische Verhalten<br />
der Population hat (s. Horvitz & Schemske 1995).
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