Zwischen Naturschutz und Theoretischer Ökologie: Modelle zur ...

136 5 Dynamisches Multihabitatmodell – ein räumlich explizites Simulationsmodell
2kπi
d
λ = λ ⋅e
, k = 1,
2,
..., d −1
( 5-19 )
i
1
Für Matrix A in Gl. ( 5-1 ) gibt es demnach bei d = 3 neben dem dominanten Eigenwert
λ 1, berechnet aus dem charakteristischen Polynom:
det ( A −λI
) = 0
3
⇔ λ − P P F = 0
⇔ λ =
1
3
1
1
2
P P F
2
zwei komplexe Eigenwerte, und zwar:
für k = 1:
2
( 2
2
3
) 3
i
cos π + i ⋅ sin π = P1
P2
F ( − 0 5 )
3 2π
i 3
P 3
1P2
Fe
= P1
P2
F
+
3
3
λ = .
und für k = 2:
3
( 4
4
3
) 3
i
cos π + i ⋅ sin π = P1
P2
F ( − 0 5 )
3 4π
i 3
P 3
1P2
F e = P1
P2
F
−
3
3
λ = .
2
2
( 5-20 )
( 5-21 )
Da aufgrund der Imprimitivität der Matrix alle Eigenwerte dieselbe Länge aufweisen,
also λ 3
1 = λ1
= λ2
= λ3
= P1
P2
F gilt, liegen alle drei Eigenwerte in der Gauß'schen
Zahlenebene auf einem Kreis um den Ursprung mit dem Radius r = 3 P1
P2
F (s.
Abb. 5-11).
Die Bedingung dafür, daß das Modell stabile Lösungen liefert, ist λ 1 = 1. Parameterkombinationen,
welche diese Bedingung erfüllen, zeigt Abb. 5-8 als Responseoberfläche
der Fekundität über variierten Übergangswahrscheinlichkeiten P 1 und P 2.
PP 2 = 2 = 0.3
F F = 33.33 Eier/Imago
PP 1 = 1 = 0.1
Abb. 5-8: Für die auf der Fläche liegenden Parameterkombinationen von P1, P2 und F ist das
Stabilitätskriterium λ1 = 1 erfüllt; z.B.: λ1 = 1 ⇔ P1 = 0.1 ∧ P2 = 0.3 ∧ F = 33.33 Eier/Imago.