ASAXS - Helmholtz-Zentrum Berlin

8.2 Quantitative theoretische Beschreibung der ASAXS-Kurven
chung (8.1) über den Winkel α von 0 bis π/2 ist eine mathematische Mittelung über die
möglichen Orientierungen. Die Variable q in Gleichung (8.1) ist der Betrag des Streuvektors.
Das Volumen eines Rotationsellipsoids ist durch folgende Beziehung gegeben
100 nm
V (R, ζ) = 4
3 πζR3 . (8.3)
Abbildung 8.4: Dargestellt ist ein Ausschnitt aus der in Abb. 7.16 gezeigten TEM-Aufnahme.
Die Nanopartikel lassen sich in erster Näherung durch Rotationsellipsoid-
Teilchen approximieren (siehe Vergrößerung), wobei sich die Rotationsellipsoide
vorzugsweise an den spitzen Seiten berühren/überlappen können.
Die TEM-Aufnahmen sowie der Verlauf der Streukurven implizieren, dass die Teilchen einer
Größenverteilung genügen und nicht monodispers in ihrer Größe sind. Gleichung (2.9)
trägt dieser Tatsache durch eine Größenverteilungsfunktion P (R) Rechnung. Nukleation und
Wachstumsprozesse in amorphen Umgebungen führen häufig auf eine logarithmische Normalverteilung
für die Größe der Nanopartikel [106, 107], welche wie folgt definiert ist
P (R, µ, σ) =
�
1 (ln(R) − µ)2
√ exp −
2πσR 2σ2 �
. (8.4)
Der Erwartungswert der logarithmischen Normalverteilung in dieser Schreibweise ist durch
�
〈R〉 = exp µ + σ2
�
(8.5)
2
und die Standardabweichung durch
δ 〈R〉 =
�
exp(2µ + σ 2 )(exp(σ 2 ) − 1) (8.6)
gegeben.
Prinzipiell ist das theoretische Modell für die Beschreibung der Kleinwinkelstreuung durch
Gleichung (2.9) und (8.1) - (8.4) vollständig beschrieben, wenn der Volumenanteil der Nanopartikel
kleiner als 1 % beträgt. Die TEM-Aufnahmen implizieren, dass der lokale Volumenanteil
(siehe Bereich B in Abb. 7.16) deutlich größer ist und im Bereich von 20 % zu erwarten
ist. Dieses bedingt die Implementierung eines Strukturfaktors in Gleichung (2.9), welcher
der gegenseitigen Wechselwirkung der Teilchen untereinander Rechnung trägt. Aufgrund des
zu erwartenden hohen lokalen Volumenanteils ist die Implementierung des Strukturfaktors
S(q, RP , ν) in der „lokalen monodispersen Approximation“ zu wählen [108]. Die modifizierte
Gleichung (2.9) für die Beschreibung der differenziellen Streuquerschnitte ist durch folgende
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