ASAXS - Helmholtz-Zentrum Berlin

Startwert: σ
Startwert: σ
0.4
0.3
0.2
0.4
0.3
0.2
0.1
Test für
Parameter: σ
8.4 Ergebnisse der quantitativen Modellierung der Streukurven
0.1
0.1 0.4 0.7 1.0 1.3 1.6 1.9 2.2 2.5 2.8 3.1
Startwert: ζ
Test für
Parameter: ζ
0.1 0.4 0.7 1.0 1.3 1.6 1.9 2.2 2.5 2.8 3.1
Startwert: ζ
Start mit oblaten Rotationsellipsoid
Start mit prolaten Rotationsellipsoid
Abbildung 8.13: Dargestellt sind die beiden Stabilitätsmatrizen für die beiden Parameter σ
und ζ des Strukturmodells. Beide Parameter wurden in derselben Regression
optimiert. Die schwarzen markierten Einträge in den Matrizen entsprechen
lokalen Lösungen der Regression (zu hohes Chi-Quadrat), wohingegen die
anderen die globale Lösung mit dem niedrigsten Chi-Quadrat repräsentieren.
meter σ und ζ dargestellt, d. h., auf der x-Achse ist der Startwert für ζ und auf der y-Achse der
Startwert für den Parameter σ dargestellt. Der jeweilige erhaltene Wert für σ oberer Graph
bzw. ζ unterer Graph ist in der Füllfarbe der Boxen kodiert. Für die Darstellungen wurde
ein Limit für das normierte Chi-Quadrat eingeführt. Alle Lösungen bei denen das normierte
Chi-Quadrat größer als 0.09 ist, sind als schwarze Boxen dargestellt. Diese Lösungen repräsentieren
lokale Minima der riemannschen Mannigfaltigkeit der Lösungsmenge. Alle Lösungen
bei denen das Chi-Quadrat kleiner als 0.09 ist, sind in Farbe dargestellt. Diese Lösungen (Chi-
Quadrat ≈ 0.033) entsprechen dem globalen Minimum des Minimierungsproblems Gleichung
(8.18).
Für den Parameter σ, welcher die Polydispersität beschreibt, konnte eine Lösung gefunden
werden. Der Mittelwert beträgt σ = 0.22 ± 0.01. Die Standardabweichung von σ beträgt rund
5 %. Diese Größe des Fehlers für die Polydispersität ist akzeptabel, da σ zusätzlich Verzerrungseffekte
des 2D-Gasdetektors (Parallaxe) mit erfasst. Die tatsächliche Polydispersität der
Größenverteilung wird dementsprechend minimal kleiner sein als 0.22. Dennoch zeigt der Test,
dass es nur eine Lösung im Bereich der zu erwartenden Genauigkeit für diesen Parameter gibt.
Für die Exzentrizität ζ (oblates oder prolates Rotationsellipsoid) liefert der Test zwei unterschiedliche
Lösungen. Eine Lösung ist ζ = 0.36±0.01, welche ein oblates Rotationsellipsoid
beschreibt. Die andere Lösung ist ζ = 2.77 ± 0.05, welches dem prolaten Rotationsellipsoid
entspricht. Interessanterweise beschreiben die beiden gefundenen Lösungen für den Parameter
ζ das inverse Problem, d. h. 1/2.77 ≈ 0.36. Dieses bedeutet, dass es nicht möglich ist, zwischen
der prolaten und oblaten Rotationsellipsoid-Lösung aus Sicht der Statistik zu unterschieden,
aber eine Bestimmung der Radien möglich ist.
Weiterhin ist in Abb. 8.13 zu erkennen, dass vereinzelt auch Lösungen für das oblate Rotationsellipsoid
existieren, obwohl die Regression mit einem prolaten Rotationsellipsoid gestartet
wurde und umgekehrt. Die Regressionen bei denen von einer perfekten Kugel (ζ = 1) gestartet
wurde, führen in der Regel in lokale Minima. Dieses deutet darauf hin, dass die Nanoteilchen
auf keinen Fall als Kugel approximiert werden können. Zudem ist der Gradient von ζ in diesem
0.23
0.22
0.21
2.80
1.50
0.30
Fitergebnis: σ
Fitergebnis: ζ
107