ASAXS - Helmholtz-Zentrum Berlin

2.1 Röntgenkleinwinkelstreuung
kann im Kleinwinkelbereich (2θ ≤ 6 ◦ ) gleich 1 gesetzt werden, dadurch gilt die Näherung
I0(q) ≈ I0. Die Funktion γ(r) in Gleichung (2.5) bezeichnet die Korrelationsfunktion [14], die
die Wahrscheinlichkeit angibt, ausgehend von einem Ort �r1 im Abstand r dieselbe Elektronendichte
vorzufinden. Die Korrelationsfunktion hat die allgemeinen Eigenschaften γ(0) = 1
und γ(r) → 0 für große Abstände r. Eine weitere anschauliche Größe ist die Elektronenabstandsverteilungsfunktion
p(r) = γ(r) · r 2 . (2.7)
Für homogene Teilchen entspricht p(r) der Anzahl von Abständen innerhalb des Teilchens,
d. h., die Anzahl der Linien mit Länge r, welche zwischen zwei beliebigen Volumenelementen
dV1 und dV2 gebildet werden können. Für inhomogene Teilchen muss zusätzlich die unterschiedliche
Elektronendichte der verschiedenen Volumenelemente bei der Interpretation berücksichtigt
werden. Es folgt, dass für inhomogene Teilchen p(r) proportional zur Anzahl von
Paaren ist (Volumenelementen dV1 und dV2 im Abstand r), die eine unterschiedliche Elektronenanzahl
n1 = ρ(r) · dV1 und n2 = ρ(r) · dV2 aufweisen (siehe Abbildung 2.1).
Aus dem Verlauf von p(r), welcher durch eine Inversfouriertransformation von Gleichung
(2.5) bestimmt werden kann, lassen sich qualitative Aussagen über die Nanostruktur der Probe
folgern [15, 16].
• Der Verlauf der Kurve p(r) liefert Informationen über die geometrische Form der Objekte.
• Der Cut-off Wert von p(r), d. h., der Abstand r bei dem p(r) gleich null ist, definiert
den maximalen intrapartikulären Abstand. Im Fall von monodispersen symmetrischen
Nanoteilchen entspricht dieser Wert dem größten Teilchendurchmesser.
Die Elektronenabstandsverteilungsfunktion p(r) lässt sich für viele geometrische Formen
analytisch berechnen. Glatter und Kratky geben eine detaillierte Übersicht über diese Funktionen
[12]. Für alle anderen Fälle ist es möglich, p(r) numerisch anzunähern. Als Beispiel ist
in Abbildung 2.2 die Abstandsverteilungsfunktion p(r) für den Fall von kugelförmigen Nanoteilchen
dargestellt. Für den Spezialfall von monodispersen Kugeln (schwarze Linie) gibt es
einen Cut-off Wert, welcher bei 5 nm liegt und dem Durchmesser der Nanoteilchen entspricht.
Als Vergleich ist die Abstandsverteilungsfunktion für ein System von kugelförmigen Teilchen
dargestellt, bei dem der Durchmesser der Kugeln einer logarithmischen Normalverteilung
genügt (graue Linie). Der Mittelwert der Verteilung beträgt 5 nm und die Polydispersität 20 %.
In Abbildung 2.2 sind zusätzlich die entsprechenden Kleinwinkelstreuintensitäten dargestellt.
Die Durchführung der Fouriertransformation Gleichung (2.5) bzw. der Inversfouriertransformation
stellt, aufgrund des im Experiment beschränkten Streuvektorbereiches, ein mathematisches
Problem dar. Es wird eine im Bereich 0 ≤ q ≤ ∞ stetige Funktion benötigt. Um
die Transformation dennoch durchführen zu können, gibt es eine Reihe von Extrapolationsmethoden
[17, 18].
Eine weitere Möglichkeit Kleinwinkelstreuung auszuwerten ist die Anpassung einer theoretischen
Modellstreukurve an die experimentelle Streukurve. Anstelle der Streuintensitäten
wird hierbei der sogenannte differenzielle Streuwirkungsquerschnitt dσ/dΩ(q) verwendet. Der
Streuwirkungsquerschnitt einer Probe ist definiert als die Anzahl der gestreuten Photonen pro
Sekunde relativ zum einfallenden Photonenfluss und Raumwinkel. Der einfallende Photonenfluss
ist die Anzahl der Photonen pro Sekunde und Einheitsfläche. Vorteil des differenziellen
Streuwirkungsquerschnitts gegenüber der Streuintensität ist, dass er unabhängig von der Form
der Probe sowie deren Transmission ist. Für ein System monodisperser kugelförmiger Nano-
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