ASAXS - Helmholtz-Zentrum Berlin

8 Nanostruktur und nanochemische Analyse der getemperten Glaskeramiken
qi aufweisen. Aus diesem Grund ist in der Matlab-Klasse MNLRSAS eine Startroutine implementiert,
welche alle N Streukurven auf ein einheitliches q-Raster mit M Stützstellen
konvertiert. Dabei werden die gemessenen differenziellen Streuquerschnitte linear interpoliert.
Das q-Raster kann als äquidistant bei einer linearen oder einer logarithmischen q-Skala definiert
werden. Letzteres stellt eine zusätzliche Gewichtung der Messergebnisse dar, wobei den
Messwerten bei kleinen q-Werten mehr Gewicht bei der Regression zugeordnet wird. Aufgrund
des Verlaufs der differenziellen Streuquerschnitte ist ein äquidistantes Raster bei einer
logarithmischen q-Skala der linearen vorzuziehen.
Die Berechnung der Funktion Z(...) für einen bestimmten q-Wert dauert aufgrund von numerischen
Berechnungen der Funktion Y (...) je nach Konvergenzeigenschaft unterschiedlich
lange. Es konnte festgestellt werden, dass die Berechnungsdauer für größere q-Werte deutlich
zunimmt. Derzeitige Rechnerarchitekturen erlauben es, Berechnungen auf mehrere Prozessoren
aufzuteilen, sofern dieses mathematisch möglich ist. Die Berechnung des Chi-Quadrats
nach Gleichung (8.18) wird in der Matlab-Klasse auf mehrere Prozessoren aufgeteilt, um die
nichtlineare Regression deutlich schneller durchführen zu können. Hierfür wird die Summe
in Gleichung (8.18) auf die zur Verfügung stehenden K Prozessoren aufgeteilt, um der unterschiedlich
langen Berechnungsdauer der Funktion Z(...) Rechnung zu tragen. Die Summe
wird wie folgt auf die K Prozessoren aufgeteilt:
• Prozessor 1: q1, qK+1, q2K+1, ... .
• Prozessor 2: q2, qK+2, q2K+2, ... .
• Prozessor K: qK, q2K, q3K, ... .
Nachdem alle K Prozessoren die Funktionen Z(...) für die entsprechenden q-Werte berechnet
haben, werden diese nachträglich wieder in die richtige Reihenfolge q1, q2, q3, ... umsortiert. Die
Aufteilung der Summe nach diesem Schema auf die K Prozessoren führt dazu, dass alle K
Prozessoren in etwa die gleiche Zeit für die Berechnungen der Funktionen Z(...) brauchen. Die
gleiche Aufteilung auf mehrere Prozessoren wurde auch für die Berechnung der Jacobi-Matrix
J umgesetzt, deren Berechnung zeitaufwendiger ist im Gegensatz zu den Berechnungen der
Funktionen Z(...).
Die implementierte Option der parallelen Berechnung des Chi-Quadrats sowie der Jacobi
Matrix ist vor allem für die simultane nichtlineare Regression von vielen Streukurven und
vielen freien Parametern von Vorteil. In der vorliegenden Arbeit wurden bis zu 64 Streukurven
mit jeweils 150 q-Werten (= 9600 Stützstellen) simultan angeglichen. Bei der Berechnung auf
einem 2xQuad-Core Rechner führte dieses zu einer Zeitersparnis um einen Faktor von 7.5 für
die simultane nichtlineare Regression.
Numerische Algorithmen für die Doppelintegration
Die Berechnung der Modellfunktion Y (...) sowie der Jacobi-Matrix J bei jedem Iterationsschritt
der Minimierung von Gleichung (8.18) bedingt die Berechnung eines Doppelintegrals
für jeden q-Wert (siehe Gleichung (8.7) und (8.1)). Das Doppelintegral in Gleichung (8.7)
lässt sich nicht analytisch bestimmen. Demzufolge ist es nötig, dieses numerisch zu approximieren.
Für die numerische Berechnung des Doppelintegrals wurde die in Matlab implementierte
Standard-Routine "Recursive Adaptive Simpson Quadrature"verwendet [116]. Dieser Algorithmus
basiert im Wesentlichen auf der Annäherung der Funktion durch eine stufenweise
definierte Variante
� b � d
f(x, y)dydx ≈ � �
f(xi, yj)(xi+1 − xi)(yj+1 − yj). (8.19)
98
a
c
i
j