ASAXS - Helmholtz-Zentrum Berlin

8.3 Entwicklung einer nichtlinearen Regressionsroutine für ASAXS-Experimente
te in Abhängigkeit vom Konvergenzkriterium dargestellt. Die differenziellen Streuquerschnitte
sind in der gewichteten Darstellung in einem Log-Lin Plot dargestellt. Die Streukurven für Toleranzen
λ von 1e-1 bis 1e-3 zeigen Abweichungen der Intensitäten zwischen Experiment und
Regression; insbesondre das Maximum bei q ≈ 0.45 nm −1 ist nicht optimal reproduziert. Für
Toleranzen λ der Doppelintegration (siehe Gleichung (8.20)) von 1e-5 und besser beschreibt
der Angleich die experimentellen differenziellen Streuquerschnitte unter Berücksichtigung der
Fehlertoleranzen optimal. Demzufolge sollte ein Konvergenzkriterium von 1e-5 oder besser
gewählt werden. Weiterhin zeigen die Ergebnisse, dass die theoretische Beschreibung der experimentellen
Streuquerschnitte mittels Gleichung (8.7) möglich ist. Dieses bedeutet nicht,
dass das approximierte Modell oder die Angleichung akzeptabel sind. Im nächsten Abschnitt
wird dieses näher untersucht.
Abbildung 8.8 zeigt den Verlauf des normierten Chi-Quadrats 3 in Abhängigkeit der Toleranz
λ. Das Chi-Quadrat variiert über zwei Größenordnungen von 10 für eine Toleranz λ = 1e-1 bis
zu 0.05 für Toleranzen λ < 1e-4. Weiterhin kann festgestellt werden, dass die Chi-Quadrate
für Toleranzen λ besser als 1-e5 nahezu konstant sind. Es sei daraufhin gewiesen, dass in Abb.
8.8 eine logarithmische Skala für das Chi-Quadrat gewählt wurde. Diese Feststellung ist in
Übereinstimmung mit den Verläufen der differenziellen Streuquerschnitte in Abhängigkeit von
der Toleranz, welche in Abb. 8.7 gezeigt sind.
Zeit (h)
35
30
25
20
15
10
5
0
Rechendauer der Regression
normiertes Chi-Quadrat der Regression
optimale Toleranz
1 2 3 4 5 6 7
k
100
10
1
0.1
0.01
normiertes Chi-Quadrat
Toleranz: 1 x 10 -k
Abbildung 8.8: Dargestellt ist der Einfluss des numerischen Konvergenzkriteriums der Doppelintegration
auf das Chi-Quadrat der nichtlinearen Regression sowie auf die
benötigte Rechendauer. Die optimale Toleranz unter Berücksichtigung der Rechenzeit
und der Konvergenz ist bei k = 5, d. h. eine Toleranz λ von 1e-5 für
die Approximation des Doppelintegrals in Gleichung (8.7).
Zusätzlich zum normierten Chi-Quadrat ist in Abbildung 8.8 die benötigte Rechendauer
der Regression dargestellt. Die Regression wurde auf einem Quad-Core Computer mit 2.8GHz
pro Prozessorkern durchgeführt. Es kann eine exponentielle Abhängigkeit von der benötigten
3 Das Chi-Quadrat ist auf die Anzahl der Freiheitsgrade der Regression normiert.
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