ASAXS - Helmholtz-Zentrum Berlin

8 Nanostruktur und nanochemische Analyse der getemperten Glaskeramiken
auch für den lokalen Volumenanteil ν. Demzufolge müssen diese fünf Parameter für alle 24
Streukurven (verschiedene Röntgenenergien) exakt gleich sein, d. h., für die Regression werden
5 anstelle von 24*5 = 120 Parametern benötigt.
Der Streukontrast ∆ρ(E) sowie die Untergrundstreuung beschreibenden Parameter c0(E),
c1(E) und c2(E) hängen von der Röntgenenergie E ab, d. h., für die 24 Streukurven werden
96 energieabhängige Parameter benötigt. Insgesamt benötigt eine simultane nichtlineare
Regression der differenziellen Streuquerschnitte 101 Parameter im Gegensatz zu 216 Parametern,
wenn die Regression einzeln für jede Energie durchgeführt wird. Für eine simultane
nichtlineare Regression aller Streukurven ergibt sich ein Verhältnis von Stützstellen zu freien
Parametern von 35.6. Das entspricht effektiv 4.3 Parametern pro Streukurve im Gegensatz zu
9 bei einer separaten Regression.
Für die Umsetzung der simultanen nichtlinearen Regression wurde ein objektorientiertes
Programm in der Programmiersprache Matlab entwickelt, welches universell eingesetzt werden
kann. Das grundlegende Konzept der Matlab-Klasse 1 wird im Folgenden vorgestellt. Das
Programm minimiert das wie folgt definierte Chi-Quadrat
χ 2 = � �
i
j
�
Y (qi, Ej, � P , � Qj) − dσ
dΩ (qi,
�2 Ej)
. (8.13)
δ(qi, Ej)
Die experimentell gemessenen differenziellen Streuquerschnitte sind durch dσ/dΩ(qi, Ej) und
die dazugehörigen Messfehler durch δ(qi, Ej) gegeben. Die anzugleichenden Modellstreukurven
sind durch die Funktion Y (...) gegeben. Hierfür ist es zweckmäßig, zwei Vektoren einzuführen,
welche die benötigten Parameter definieren. Der Vektor � P definiert alle energieunabhängigen
Parameter. Im Folgenden werden diese als globale Parameter bezeichnet. Der Vektor � Qj definiert
die energieabhängigen Parameter bei der j-ten Energie Ej (lokale Parameter). Für die
untersuchten Glaskeramiken ist die Funktion Y (...) durch Gleichung (8.7) gegeben. Die beiden
Vektoren � P und � Qj sind wie folgt definiert
�P = (µ, σ, ζ, κ, ν) T � Qj = (∆ρ(Ej), c0(Ej), c1(Ej), c2(Ej)) T . (8.14)
Die entwickelte Matlab-Klasse beinhaltet eine Vielzahl von numerischen Algorithmen zum
Berechnen von Y (...) sowie zur Minimierung des Chi-Quadrats (Gleichung (8.13)), welche
teilweise im nächsten Abschnitt vorgestellt werden.
Die Matlab-Klasse ist universell entwickelt worden, d. h., die nichtlineare Regression ist
von der Definition der Modellfunktion entkoppelt. Dieses ermöglicht es, in wenigen Schritten
neue Modellfunktionen einzubinden. Dabei spielt es keine Rolle, wie viele Streukurven
simultan angeglichen werden müssen. Ein Test mit 60 Streukurven wurde erfolgreich durchgeführt.
Prinzipiell gibt es keine Limits für die Anzahl, jedoch wird die benötigte Rechendauer
dementsprechend länger, was die Anzahl letztendlich limitiert. Die entwickelte Matlab-Klasse
wird Ausgangspunkt einer Auswertesoftware für ASAXS-Experimente sein. Eine ausführliche
Beschreibung der Eigenschaften und Funktionen der Matlab-Klasse wird in der Anleitung zu
dieser Software veröffentlicht werden. Die Matlab-Klasse beinhaltet in der aktuellen Version
1.0 ein Tool zur Simulation von ASAXS-Experimenten, welches weiter entwickelt werden soll.
Diese Option soll es ermöglichen, ASAXS-Experimente zu simulieren, um eventuell notwendige
Änderungen am Probensystem im Vorfeld eines Experimentes durchführen zu können.
1 Klasse - objektorientierte Datentypstruktur in Matlab oder C++.
96