TESI DI DOTTORATO Modellazione e analisi non lineare - LabMec ...

Capitolo 6. Metodo di analisi
Come mostrato da Casciaro [1975], la convergenza del processo iterativo formato dalle equazioni
(6.45) - (6.46) è assicurata se, sotto ipotesi niente affatto restrittive sul comportamento meccanico
della struttura, la matrice d’iterazione è assunta come
[H] = [(1-δ) [KM] + δ [KT]] -1 0 < δ < 0.5 (6.47)
essendo [KM] una matrice massimizzante (per esempio la matrice elastica [KE]) e [KT] è una
generica matrice tangente della parete discretizzata.
Tra i metodi classici, si colloca il metodo di Newton-Raphson (Figura 6.18), che assume come
funzione di iterazione l’espressione ottenuta imponendo l’annullarsi dell’approssimazione al primo
ordine del residuo:
( k 1)
( k )
{ r } = r
⎡ d { } {} r
+
⎤
+ k+
1 k
k+
1 k
⎢ {} ⎥
⎣d
u ⎦{}
u = u
( k )
{ }
( ) ( )
( )
( { u } − { u } ) + O u
Trascurando i termini dal secondo ordine in poi, si ottiene
150
( ) 2
( { } − { u } ) = 0
(6.48)
( k+
1)
( k ) ⎡ d r ⎤
( k ) ( k ) ( k ) −1
k
{ u } = u −
{ r } = { u } − KT
{ r }
(6.49)
{ } {}
⎢
⎣d
⎥
−1
{} u ⎦{}
u u
( k
=
)
{ }
[ ] ( )
essendo [KT (k) ] la matrice di rigidezza tangente alla k-esima iterazione, il cui calcolo è effettuato
approssimandola alla matrice secante
( ) { } { }
( ) { u } − { u }
( k ) k−1
( k ) s − s
[ K T ] = ( k ) k−1
(6.50)
e risulta, quindi,
[H] = [KT (k) ] -1 (6.51)
Tale metodo richiede, pertanto, l’aggiornamento della matrice di rigidezza in corrispondenza di
ciascuna soluzione approssimata.