TESI DI DOTTORATO Modellazione e analisi non lineare - LabMec ...

Capitolo 4. Modellazione di pareti strutturali
∂M
∂M
ΔM
= Δχ
+ ΔN
∂χ
∂N
∂N
ΔN
= Δχ
+
∂χ
∂N
Δε
∂ε
87
(4.56)
(4.57)
Sostituendo nell’espressione di ΔM la relazione differenziale di ΔN ed esprimendo il tutto in
termini matriciali, si ottiene
⎡∂M
∂M
∂N
⎢
+ ⋅
⎧ΔN
⎫ ∂χ
∂N
∂χ
⎨ ⎬ = ⎢
⎩ΔM
⎭ ⎢
∂N
⎢⎣
∂χ
∂M
∂N
⎤
⋅
∂N
∂ε
⎥ ⎧Δχ⎫
⎥ ⋅
∂N
⎨ ⎬
⎥ ⎩Δε
⎭
∂ε
⎥⎦
(4.58)
La matrice di rigidezza ottenuta appare dunque non simmetrica, ma la si può rendere tale attraverso
opportune manipolazioni algebriche:
⎡∂M
⎛ ∂M
ΔN
⎢ ⎜1−
⋅
⎢
∂χ
⎝ ∂N
ΔM
⎧ΔN
⎫ ⎢
⎨ ⎬ = ⎢
⎩ΔM
⎭ ⎢ 0
⎢
⎢
⎣
⎞
⎟
⎠
⎤
0
⎥
⎥ −1
⎡ ⎛ ∂N
⎞
⎤ ⎥ ⎧Δχ
⎫
⎢ ⎜ ⎟
⎥ ⎥ ⋅ ⎨ ⎬
∂N
⎢ ⎜ ∂χ
⎟⎛
ΔM
∂M
⎞
⎜ − ⎟⎥
⎥ ⎩Δε
1−
⎭
∂ε
⎢ ⎜ ∂M
⎟⎝
ΔN
∂N
⎠⎥
⎥
⎢ ⎜ ⎟
⎥ ⎥
⎣ ⎝ ∂χ
⎠
⎦ ⎦
(4.59)
rendendo però necessaria una procedura iterativa all’interno del singolo passo dell’analisi, a meno
di ricorrere all’ipotesi semplificativa di costanza del rapporto ΔM/ΔN durante il generico passo
dell’analisi.
Nelle espressioni precedenti, il temine ∂M/∂χ rappresenta la rigidezza flessionale della sezione
valutata con riferimento alla curva M-χ corrispondente al valore corrente dello sforzo normale,
mentre il termine [1-(∂M/∂N)(ΔN/ΔM)] -1 tiene conto del contributo della variazione di sforzo
normale sulla rigidezza flessionale in base ad un assegnato legame M-N. Il termine ∂N/∂ε
rappresenta, infine, la rigidezza assiale dell’elemento valutata sulla curva corrente del legame
sforzo normale-deformazione assiale, individuata dalla curvatura assegnata.
I legami isteretici M-χ ed N-ε sono scelti arbitrariamente (ad esempio, si può usare il legame
proposto da Takeda). Ottenuta la matrice di rigidezza per la sezione intermedia di ciascun concio,
la matrice dell’intero elemento viene calcolata per integrazione.