1993 - Gustavo Bueno - Teoría del Cierre Categorial-Tomo-2. Pentalfa. 1993

(643) Parte 1.2.2. La doctrina de las categorlas como presupuesto ... 271
categorfas (y categorfas cerradas) y cuales son las peculiares articulaciones
que deterrninan las diversas texturas que caracterizan
a las diferentes categorfas estructurales y, en espacial, cuales sean
las peculiares disposiciones que definen las categorfas estructurales
cerradas. En particular, y por lo que a este ultimo punto
se refiere: no necesitamos presentar a las llamadas «categorfas estructurales
cenadas» como prototipo o primer analogado de un
cierre categorial, porque este cierre puede tener Iugar a prop6sito
de materiales (por ejemplo, los elementos qufmicos de la tabla
peri6dica) que no tienen siquiera la estructura de una categorfa
matematica estructural. Lo que caracteriza a las categorfas estructurales
cerradas matematicas no serfa, en definitiva, el cierre, sino
un tipo sui generis de cierre, que resultarfa ser singularmente notorio
acaso porque en tales estruduras las «lfneas del cierre operatorio»
son varias (tres, cuatro, ... ) y se entrelazan de modo peculiar.
Una vez suponemos dada una categorfa monoidal (0C®K)
podemos definir una categorfa cerrada a partir del concepto de
OC-categorfa 91 (con ciettas determinaciones) en tanto clase de objetos
ob9lpor medio de las tres condiciones siguientes 176 :
1. Para cada par A,B de ob9l existe un objeto 91(A,B) en[.
2. Si A,B,C, E ob9l, existe un morfismo en OC,
CAne: 9l(A,B)®9l(B,C) --7 9l(A,C).
3. Para cada A E ob9l existe un morfismo en m,
JA:K --7 9l(A,A),
Cumpliendose para todo A,B,C,D de ob9llas siguientes hipotesis:
C.C.1) CAcDo (CAuc®9l(C,D)) = CAnc 0 (91(A,B)®Cucn).
C.C.2) CAIIIIo(9l(A,B)®Jn) = CAAIIo(JA®9l(A,B)).
Ahora bien: cada una de estas condiciones puede considerarse
como una condici6n de cierre. La condici6n 1 establece un
cierre objetual (de objetos o terminos); la condici6n 2 establece
un ciene relacional (por transitividad); la condici6n 3 establece
un cierre operatorio (aplicativo) por aplicaci6n de K (como conjunto
btisico de la categorfa) a un ob91(A,A); un cierre que envuelve,
ademas, los «entrelazamientos circulares» representados
en las hipotesis C.C.l y C.C.2.
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176 Vi d. J .M. Fernandez Villaboa, Grupos de Brauer y de Galois de 1111
Algebra de Hopf en una categorla cerrada, Universidad de Santiago 1985.