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Buscando estrategias
Considera la potencia 4 15 , el valor de esta potencia tiene 10 cifras. ¿Cuál es el último dígito de
este número?, ¿y de 4 48 ?
Comprender
• ¿Qué sabes del problema?
4 15 = 4 • 4 • 4 • … • 4 4 48 = 4 • 4 • 4 • 4 • … • 4 • 4
15 factores 48 factores
• ¿Qué debes encontrar?
El valor del último dígito de las potencias anteriores.
Planificar
• ¿Cómo resolver el problema?
En el caso de 4 15 podríamos utilizar la calculadora científica para saber cuál es el último
dígito del valor de la potencia, pero en 4 48 la calculadora no puede dar respuesta, ya que la
mayoría no tiene tanta capacidad. Sin embargo, podemos comenzar resolviendo los primeros
8 casos y, luego, observaremos la cifra de las unidades para encontrar alguna regularidad.
Resolver
• Calculamos los valores de las potencias de base 4 y exponente desde 1 hasta 8:
4 1 = 4 4 3 = 64 4 5 = 1024 4 7 = 16 384
4 2 = 16 4 4 = 256 4 6 = 4096 4 8 = 65 536
Luego, observamos que en las potencias de base 4 y exponente:
a) par, la última cifra del resultado es 6. b) impar, la última cifra del resultado es 4.
Responder
• Como en 4 15 el exponente es impar, la cifra de la unidad del valor de la potencia es 4.
• Como en 4 48 el exponente es par, la cifra de la unidad del valor de la potencia es 6.
Revisar
• Para comprobar cada resultado, puedes utilizar las propiedades de las potencias, luego,
calcular cada expresión (utilizando calculadora si es necesario) y, finalmente, multiplicar las
últimas cifras:
Utilizando propiedades de potencias, tenemos: 4 15 = 4 7 • 4 8 = 16 384 • 65 536. Entonces, al
multiplicar las últimas cifras de los factores, obtenemos: 4 • 6 = 24. Luego, la última cifra es 4.
En el segundo caso, tenemos que:
4 48 = 4 10 • 4 10 • 4 10 • 4 15 • 4 3 = 1 048 576 • 1 048 576 • 1 048 576 • 1 073 741 824 • 64.
Luego, multiplicamos las últimas cifras de los factores, es decir: 6 • 6 • 6 • 4 • 4 = 3456.
Entonces, la última cifra es 6.
66 Unidad 2