MATEMÁTICAS - Ministerio de Educación

f −x= 1
1
cos−2xcos−x= cos 2xcos x
2 2
f −x= f x → es una función par simétrica respecto al eje Y.
Puntos de corte con los ejes:
Con el eje Y → x=0 → f x= 1
1 3
cos 0cos0= 1=
2 2 2
Con el eje X → y=0 → 0= 1
cos 2xcos x
2
Para resolver esta ecuación trigonométrica se utilizan las fórmulas del ángulo doble:
cos 2x=cos 2 x−sen 2 x
Por tanto en nuestra ecuación trigonométrica resulta:
cos 2 x−sen 2 x2cos x=0
Tenemos que poner todos los términos en función de la misma razón trigonométrica y para
ello se hace uso de la ecuación fundamental de la trigonometría: sen 2 xcos 2 x=1 , de donde
resulta que sen 2 x=1−cos 2 x
cos 2 x−1−cos 2 x2cos x=0
2cos 2 x2cos x−1=0
resolviendo la ecuación de segundo grado se obtiene:
−2± 48
cos x=
cos x=0,366
4 cos x=−1,366
La ecuación tiene dos soluciones pero una de ellas es incompatible ya que es menor que -1 y
es imposible que el coseno de un ángulo tenga ese valor.
cos x=0,366 → con ayuda de la función inversa del coseno:
x 1 =arccos 0,366=1,196 rad ; x 2 =arccos 0,366=5,087 rad
Luego los dos puntos de corte con el eje x en el intervalo [0,2] son:
1,196,0;5,087, 0
Con el eje Y :
3
0, 2
Calculamos los puntos singulares de la función igualando su derivada a 0:
d f x
=−sen 2x−sen x
dx
Usando la ecuación del ángulo doble del seno: sen 2x=2∙sen x∙cos x , resulta
df x
=−sen 2x−sen x = - 2 sen x cos x - sen x=−sen x 2cos x1
dx
Igualando a 0 tendremos dos ecuaciones:
sen x=0 → x=0 ; x=
2 cos x1=0 → cos x=− 1 2 4
→ x= ; x=
2 3 3
De donde se obtienen los puntos singulares:
3 2 3 1 4 3
0, 2 ; ,−
3 4 ; ,− 2 ; ,−
3 4
Ordenamos de menor a mayor en la ordenada x. Si elegimos un punto cualquiera entre el
primer y el segundo punto singular y observamos el signo de la derivada en él, conoceremos
el crecimiento o decrecimiento de la función. Por ejemplo para x=
, que se encuentra en
2
ese intervalo el signo de la derivada será:
df /2 2
=−sen −sen
dx 2 2 0
102
{