MATEMÁTICAS - Ministerio de Educación

n – 1
an = a1 · r
an =3· 1
2
n−1
Como el término 3
3
se puede expresar como 7 , tenemos que n = 8, por lo que este
128 2
término es el octavo de la sucesión.
Por otra parte, como la sucesión es una progresión geométrica de razón r= 1
1 , podemos
2
calcular la suma de sus infinitos términos utilizando la siguiente expresión:
Así, tenemos:
S ∞= a 1
1−r
S∞= a1 3
=
1−r
1− 1
=
2
3
=6
1
2
3. Un coronel manda 5050 soldados y quiere formar con ellos un triángulo para una exhibición,
de modo que la primera fila tenga un soldado, la segunda dos, la tercera tres, etc. ¿Cuántas
filas tienen que haber?
Solución:
Las filas de soldados que se quieren siguen la siguiente sucesión: 1, 2, 3, 4, 5, 6, …, es decir,
forman una progresión aritmética de diferencia d = 1, cuya expresión general es an = n. Dicha
expresión podemos deducirla del siguiente modo:
an = a1 + d (n -1) = 1 + 1 · (n – 1) = 1 + n – 1 = n
Por otra parte, la suma de todas las filas que hagamos debe darnos el total de soldados de los
que disponemos, esto es, 5050. De este modo, si hacemos k filas tendremos que la suma
desde la primera fila hasta la fila k será:
S =5050
k
Si utilizamos la expresión que permite calcular Sk, tenemos que:
a a 1 k
·k=5050
1k
2 ·k=5050
k + k 2 = 10100
k 2 + k – 10100 = 0
Resolvemos ahora esta ecuación de segundo grado:
2
k= −1±12−4·1·−10100 =
2·1
−1±140400
=
2
−1±40401
=
2
−1±201
2
Y de aquí, tenemos dos soluciones:
k = 1 −1201
=
2
200
2 =100 y k2 =−1−201 =
2
−202
2 =−101
La segunda no tiene sentido, por lo que el número de filas que se tienen que hacer son 100.
4. Tres números están en progresión geométrica; el segundo es 32 unidades mayor que el
primero, y el tercero, 96 unidades mayor que el segundo. Halla dichos números.
36