MATEMÁTICAS - Ministerio de Educación

Teorema de Pitágoras, BD=5 2 5 2 =5 2 cm , y, consecuentemente, BS = 5
2 cm , y, en el
2
triángulo SBF , la hipotenusa
SF= 82 5
2 2
2
= 3
34 cm.
2
Así, sustituyendo en las expresiones que resultaron de aplicar el Teorema de Euclides,
obtenemos:
PS = 25
34 cm , PF =64
102 51 34 cm y BP= 40
17 cm.
51
Por lo tanto la distancia del punto B a la recta SF es 40
17 cm.
51
2. Una pirámide regular es tal que la suma de los ángulos interiores del polígono de la base es
igual a 540 o y las caras laterales son triángulos equiláteros. Determina el volumen, el área
total, los ángulos que forman la base y la arista lateral, la base y la cara lateral y dos caras
laterales consecutivas de dicha pirámide en función de la longitud, a , del lado de la base.
Solución:
Teniendo en cuenta que la suma de los ángulos internos
de un polígono convexo de n lados viene dada por la
expresión n−2180 0 , deducimos que la base es un
pentágono.
La altura, h , de la pirámide es la distancia del vértice a la
base y coincide con la longitud del segmento
determinado por dicho vértice y su proyección sobre la
base, dicha proyección es el centro S del pentágono.
Denotemos por A , B , C , D , E y V a los vértices
de la pirámide, siendo los cinco primeros los
correspondientes a la base. Sea M el punto medio de uno
de los lados del pentágono, por ejemplo del AB ,
entonces el triángulo MSV es rectángulo, recto en S ,
tal que el cateto MS es la apotema del pentágono.
El ángulo interno correspondiente
al vértice A del triángulo rectángulo AMS mide 54 0 , por tanto la
apotema a p =MS mide a
2 ⋅tan 540 . MV es la altura del triángulo
ABV , por tanto MV = 3
a y, haciendo uso del Teorema de Pitágoras
2
en el triángulo MSV , tenemos que h=SV = a
2 3−tan 2 54 0 .
De todo lo anterior se deduce que el área de la base es
5
4 a2 tan 54 0 , el área lateral es 5 3
4 a2 , el área total es
5
4 3tan 540 a 2 5 a3
y el volumen es
24 tan 540 3−tan 2 54 0 .
El ángulo que forma la arista AV con la base coincide con el
ángulo que forma AV con la recta que resulta de intersecar la base
con un plano perpendicular a la misma y contenga a dicha arista.
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