MATEMÁTICAS - Ministerio de Educación

Solución:
Hallamos los extremos de la cuerda: { x1 =1 y1 =−3; A1,−3
y la pendiente de la recta que
x2 =3 y2 =1; B3,1
une ambos puntos vendrá dada por la expresión: y2 – y1 =
x2 – x1 4
=2 .
2
La pendiente de la tangente f ' x 0 debe ser igual a la de la cuerda:
f ' x 0=2 x0−2=2 x0 =2 .
Como f 2=−2 entonces la tangente en el punto 2 ,−2 es paralela a la cuerda que une los
puntos A y B.
Su ecuación en forma punto-pendiente, es y2=2x−2 y=2x−6
3. Halla el valor que ha de tener m para que la función f x sea derivable en x=1 .
Solución:
f x= { 3−mx 2 si x≤1
2
mx
si x1
Para que f x sea derivable en x=1 , ha de ser continua en x=1 .
• Si f x es continua en x=1 , lím f x= f 1=3−m
x 1
lím
x1 -
f x=lím 3−m x
-
x 1 2 =3−m lím
+
x1
f x= lím
+
x 1 2 2
=
mx m
Por lo que los límites laterales deben ser iguales: 3−m= 2
m m2 −3m2=0
Resolvemos la ecuación de segundo grado y obtenemos los valores de m para los que se
cumple la igualdad: m=2 y m=1 .
Así que f x es continua en x=1 si m=1 ó m=2 .
• f x será derivable en x=1 si f ' 1 - = f ' 1 + :
{
3− x
Para m=1 tenemos : f x= 2 si x≤1
2
x si x1 y si x≤1 f ' 1
f ' x={−2x - =−2
−2
x 2 si x1 f ' 1+ =−2
por lo que f x es derivable en x=1 si m=1 .
{
3−2x
Para m=2 tenemos: f x= 2 si x≤1
si x≤1 f ' 1
1 y f ' x={−4x
si x1
x - =−4
−1
x 2 si x1 f ' 1+ =−1
por lo que f no es derivable en x=1 si m=2 .
4. Calcula la derivada de :
a) f x=x 5
b) f x= 1
x 4
c) f x= 5
x 3
d) f x= 3
7x 2
e) f x=x 3 −2x 3
x
f) f x=3x 4 −5x 2 7x1
g) f x=senx 2 5x−1
h) f x=sen x
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