MATEMÁTICAS - Ministerio de Educación

Asignado valores a x obtenemos:
Si x=−3 : 1−3·−3 2 =−33 A−33BC ⇒ C=−17
Si x=0 : 1=9 A3 B−17
Si x=−2 : −7= AB−17
9 A3 B=18
Resolviendo el sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas { AB=10 obtenemos
los valores A=−2 y B=12 .
Por tanto la integral queda:
1−2 x2 −2
∫ dx=∫ 3
x3 x3
=−2∫ 1
=−2 ln∣x3∣12
12 −17
dx∫ dx∫ dx=
2 3
x3 x−3
x3 dx12∫ x3 −2 dx−1∫x3 −3 dx=
x3−1
−1
x3−2
12 17
−17 =−2 ln∣x3∣− C 2 −2 x3 2 x3
4. Utilizar el método de integración por partes para calcular las siguientes integrales:
a) ∫ x 2 sen x dx
b) ∫e x sen x dx
Solución:
a) Integramos utilizando la regla de integración por partes ∫u dv=uv−∫v du
∫ x 2 sen x dx= *
{ u=x2
dv=sen x
=−x 2 cos x∫ 2 x cos x dx= *
⇒{ du=2 x
dv=−cos x =*
−x 2 cos x−∫ −2 xcos x dx=
{
u=2 x
dv=cos x
⇒{ du=2
dv=−sen x
= *
−x 2 cos x2 xsen x−∫ 2 sen x dx=−x 2 cos x2 xsen x2 cos xC
b) Procediendo de la misma manera obtenemos:
∫e x sen x dx= * u=sen x
{ dv=e x ⇒{
du=cos x
dv=e x =* e x sen x−∫ e x cos x=
u=cos x ⇒{
du=−sen x
e x sen x−e x Cos x−∫−e x Sen x dx =
= *
{
dv=e x
dv=−e x
=*
e x sen x−e x cos x−∫ x 2 sen x dx
Si nos fijamos en la primera igualdad y en la ultima tenemos que
∫ x 2 sen x dx=e x sen x−e x cos x−∫ x 2 sen x dx , sumando ∫ x 2 sen x dx en ambos miembros
tenemos: 2∫ x 2 sen x dx=e x sen x−e x cos x . Luego ∫ x 2 sen x dx= ex sen x−e x cos x
C
2
5. Calcular las siguientes integrales realizando los cambios de variable indicados:
a) ∫sen 2 x cos 3 x dx con sen x=t
b) ∫ ex
1e x dx con 1e x =t
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