MATEMÁTICAS - Ministerio de Educación

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Tema 32 Probabilidad CONCEPTOS BÁSICOS Experimentos aleatorios. Espacio muestral. Sucesos. Definición clásica de probabilidad. Regla de Laplace. Definición frecuentista de probabilidad. Ley de los grandes números. Sucesos dependientes e independientes. Probabilidad condicionada. PROBLEMAS RESUELTOS 1. Describe dos espacios muestrales (uno discreto y otro continuo) de dos experimentos aleatorios y describe dos sucesos de cada uno de ellos. Solución: Experimento aleatorio discreto. Se lanzan dos dados distintos. El espacio muestral está formado por todos los posibles resultados que se pueden obtener en el experimento. Como los dados son distintos, no es lo mismo obtener un 1 en el primer dado y un 2 en el segundo que obtener un 2 en el primer dado y un 1 en el segundo. Cada dado tiene seis caras, en total hay 6·6=36 posibles resultados. Por tanto el espacio muestral del experimento es {1 1, 1 2, 1 3, 1 4, 1 5, 1 6, 2 1, 2 2, 2 3, …, 6 5, 6 6} Experimento aleatorio continuo. Tiempo de espera en la parada para coger el autobús, si el autobús pasa cada 20 minutos. Los posibles resultados del experimento son cualquier tiempo desde el tiempo 0 (llego justo cuando el autobús sale de la parada) al tiempo 20 minutos (llego justo cuando el autobús está saliendo de la parada) Si expresamos el tiempo en segundos los elementos del espacio muestral son todos los números reales del intervalo [0,1200] 2. El 20% de los habitantes de una gran ciudad han votado al partido político B. Se seleccionan tres personas al azar. Calcular razonadamente: a) La probabilidad de que los tres hayan votado al partido B b) La probabilidad de que ninguno haya votado al partido B c) La probabilidad de que sólo uno de los tres haya votado al partido B Nota: El número de habitantes del pueblo es tan grande que después de seleccionar a uno, dos o tres habitantes se tiene que el 20% de los no seleccionado han votado al partido B. 179
Solución: Llamemos B al suceso “una persona ha votado al partido B”. Del enunciado se deduce que P B=0,2 a) De la nota se deduce que la probabilidad de que tres personas distintas voten al partido B es independiente luego P BBB= P B· P B· P B=0,2·0,2·0,2=0,008 Luego la probabilidad de que los tres hayan votado al partido B es 0,008. b) El suceso “una persona no ha votado B” es el suceso complementario del suceso B luego P B=1−P B=1−0,2=0,8 . Por tanto P B B B=P B· P B· P B=0,8 · 0,8· 0,8=0,512 Luego la probabilidad de que ninguno haya votado por el partido B es 0,512. c) Sea C el suceso “Solo una persona ha votado por al partido B”. El suceso C está formado por tres sucesos elementales: ◦ La primera persona ha votado al partido B y las otras dos no. ◦ La segunda persona ha votado al partido B y las otras dos no. ◦ La tercera persona ha votado al partido B y las otras dos no. Es decir, C=B B B∪ B B B∪B B B . Como los tres sucesos elementales son disjuntos entonces P C =P B B BP B B BP B B B=0,2·0,8·0,80,8·0,2·0,80,8·0,8·0,2=0,384 Luego la probabilidad de que sólo uno haya votado por el partido B es 0,384. 3. Una encuesta revela que el 35 % de los habitantes de una ciudad oye la emisora A, el 28% oye la emisora B y el 10% oye ambas emisoras. Se elige al azar uno de estos ciudadanos. Calcula las siguientes probabilidades: a) Que escuche alguna de esas emisoras b) Que no escuche ninguna de ellas c) Que escuche la emisora A sabiendo la persona no escucha la emisora B d) Que escuche la emisora A sabiendo la persona escucha la emisora B e) Que escuche sólo una de las dos emisoras Solución: Llamemos A al suceso “una persona escucha la emisora A” y B al suceso “una persona escucha la emisora B”. Recopilemos toda la información del enunciado en una tabla de doble entrada. A B 10% 28% B 35% Como sólo escuchan la emisora A el 28%, entonces el 72% no escuchan la emisora A. Si del 28 % de las personas que escuchan la emisora B, el 10% también escucha la emisora A, entonces hay un 18% de personas que escuchan la emisora B y no escucha la emisora A. Y con razonamientos análogos se completa la tabla de quedando de la siguiente manera: 180 A
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