MATEMÁTICAS - Ministerio de Educación

Vertical: lim
x0
f x=lim
x 0
x
=∞ ; entonces la recta x = 1 es una asíntota vertical.
ln x
f x
Oblicuas: m= lim = lim
x ∞ x x ∞
x
= lim
xln x x∞
1
=0 . Pero m tiene que ser distinto de cero,
ln x
por lo tanto no hay asíntota oblicua.
• Extremos. Intervalos de crecimiento y decrecimiento.
ln x−x⋅
Derivamos:
f ' x=
1
x ln x−1
= 2
ln x ln x 2
.
Posibles extremos: f ' x=0⇔ ln x−1=0⇔ ln x=1⇔ x=e .
Vamos a escribir la tabla de crecimiento y decrecimiento:
Intervalo 0,1 1,e e ,∞
f ' x - - +
f x decrece decrece crece
Antes de x=e la función decrece y después crece, esto significa que en x=e hay un mínimo.
Calculamos la coordenada y del extremo: f e= e
=e y el mínimo está en e ,e .
ln e
• Puntos de inflexión. Intervalos de concavidad y convexidad.
1
Derivada segunda: x
f ' ' x=
ln x2−ln x−1⋅2ln x⋅ 1
x
ln x 4
ln x 2 ln x−1
−
x x
=
ln x 3
Puntos de inflexión: f ' ' x=0⇔ 2−ln x=0⇔ln x=2⇔ x=e 2 .
Escribimos la tabla de concavidad y convexidad:
Intervalo 0,1 1, e 2 e 2, ∞
f ' ' x - + -
f x convexa (∩) cóncava (U) convexa (∩)
= 2−ln x
xln x 3
En el punto x=e 2 vemos que hay un punto de inflexión; calculamos la coordenada y :
f e 2 = e2
ln e 2 e2
=
• Representación gráfica.
2 . El punto de inflexión está en e2 , e2
.
2
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