MATEMÁTICAS - Ministerio de Educación

3. Calcular el valor de a y b para que el vector a ,b ,1 sea perpendicular a los vectores 3,2,0
y 2,1,−1 al mismo tiempo.
Solución:
El producto vectorial de dos vectores es otro vector simultáneamente perpendicular a ambos,
por lo tanto calculamos dicho producto vectorial y posteriormente lo comparamos con el
dado en el anunciado:
∣i j k
3 2 0 =−2,3 ,−1
2 1 −1∣
Para que el vector a ,b ,1 tenga la misma dirección que el obtenido mediante el producto
vectorial debe cumplir:
−2 3
=
a b =−1
1
Por tanto a=2 y b=−3 ; y el vector buscado es 2,−3,1
4. Los vectores de la siguiente figura u y v forman una base ortonormal. Calcular el producto
escalar de los vectores x e y , escribiendo sus coordenadas en función de la base dada y
calcular el ángulo que forman entre ellos.
Solución:
Por definición una base ortonormal es aquella formada por dos vectores perpendiculares
entre sí y cuyo módulo es la unidad, por tanto las coordenadas de los vectores x e y serán:
x=3,1 ;y=−1,2
El producto escalar de los vectores dados será:
x ∙y=3,1∙−1,2=3∙−11∙ 2=−1
Para calcular el ángulo que forman los vectores x e y usamos la definición de producto escalar
que se iguala al producto de sus módulos por el coseno del ángulo formado entre los
vectores:
x ∙y=∣x∣∙∣y∣∙cosx∙y
siendo el coseno del ángulo formado por los vectores x e y el menor de los ángulos existente
entre ellos.
3,1∙−1,2
cosx ∙y=
3 2 −1 2 ∙ −1 2 −1
=
2
2 10∙ 5
Usando la función inversa del coseno, el ángulo formado por los vectores x e y es de 98o .
5. Dados los puntos A=1,0,4 , B=3,0,1 , C=2,0,0 y D0,4,0 estudiar sin representarlos
si son o no coplanarios.
Solución:
Cuatro puntos son coplanarios cuando pertenecen a un mismo plano. Esto se cumple si tres
de los vectores formados entre ellos son linealmente dependientes, por lo que el rango de la
matriz formada por dichos vectores debe ser menor que 3.
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