MATEMÁTICAS - Ministerio de Educación

Observamos que el semieje mayor de la elipse es paralelo al eje Y
Luego las coordenadas de los focos son:
F 11 2
Y la excentricidad es:
a 2 =b 2 c 2 121
⇒ c= 121−
3 =11 2
3
3 ,0 , F ´−11 2
3 ,0
e= c
a =
2
11
3
11 = 2
3
3. Halla los semiejes real e imaginario de la hipérbola, centrada en el origen, que pasa por el
punto P(2, -6) y cuyo foco es F(3, 0)
Solución:
Sabemos que la ecuación de la hipérbola es x−x 0 2
elementos es c 2 =a 2 b 2
a 2
− y−y 02 b 2 =1 y la relación entre sus
Sustituimos y obtenemos las ecuaciones: 22 −62
− 2
a b 2 =1 y 9=a2b 2
4b2 – 36a2 = a2b2 ,
4 (9 – a2 ) – 36a2 = a2 (9 – a2 ) ,
36 – 4a2 – 36a2 – 9a2 + a4 = 0,
a4 – 49a2 + 36 = 0
a2 = t
⇒ t= 49±492−4⋅36 =
2
49±2257
=
2
49±47,5 ={ 2
t=48,25
t=0,75
Si t = a2 = 48,25 observamos que b no existe
b=9−0,75=2,9 , (es una hipérbola cuyo eje real es el eje y ya que b > a). Luego los
semiejes son a = 0,87 y b = 2,9.
4. Halla el foco, la directriz y el vértice de la parábola de ecuación:
y= 1
6 x2 1
3 x25
6
Solución:
La ecuación de una parábola cóncava con directriz horizontal, cuyo vértice es el origen de
coordenadas es y= 1
2p x2 (en donde p es la distancia entre el foco y la directriz) y por lo tanto
la ecuación de una parábola cuyo vértice es el punto (a, b) es y−b= 1
2p x−a2 .
Desarrollando esta ecuación obtenemos:
1
y−b=
2p x2a 2 −2x⇒ y= 1
2p x2− a
p
que es la ecuación general de una parábola.
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x a2
2p b