MATEMÁTICAS - Ministerio de Educación

−∞ ,−5 −5,2 2,∞
x5 - + +
x−2 - - +
x5 x−2 + - +
La solución se puede representar de forma gráfica, nosotros la escribimos en forma de
intervalos;mirando la última fila de la tabla, vemos que hay dos intervalo en los que el
polinomio es positivo, estos serán nuestra solución: x∈−∞ ,−5∪ 2,∞ .
Nota: Es importante señalar que todas las inecuaciones de grado mayor que 2 se pueden resolver con este
método, primero se factoriza el polinomio (o polinomios si es un cociente de polinomios) y después se crea una
tabla de la misma manera que lo hemos hecho en este ejercicio, y finalmente se seleccionan los intervalos
solución.
5. Resuelve en ℝ la siguiente ecuación cuadrática según el valor del parámetro m :
m x 2 −2 m xxm1=0 .
Solución:
Lo primero que haremos es ordenar los términos para identificar los coeficientes a ,b y c de la
ecuación de segundo grado: mx 2 x1−2mm1=0 . Entonces los coeficientes son:
a=m , b=1−2m y c=m1 . Tenemos entonces dos opciones iniciales: m=0, m≠0 ,
estudiaremos los dos casos por separado.
• m=0 . En este caso la ecuación se reduce a x1=0 cuya solución única es x=−1 .
• m≠0 . Ahora tendremos una ecuación de segundo grado completa, para resolverla
calculamos el discriminante que nos permitirá determinar las posibles soluciones:
=b 2 −4ac=1−2m 2 −4mm1=1−4m4m 2 −4m 2 −4m=1−8m . Según el valor
del discriminante tendremos una solución, dos soluciones o ninguna:
◦ Dos soluciones: 0⇒ 1−8m0⇒m 1
8
◦ Una solución: =0⇒ 1−8m=0⇒ m= 1
8
◦ Sin solución: 0⇒ 1−8m0⇒m 1
8
Resolvemos la ecuación con la conocida fórmula: x1,2 = −b∓ b2−4ac . En nuestro caso
2m−1 1−8m
tendríamos: x1 =
2m
2m−1−
y x2 =
1−8m
2m
soluciones obtenidas según el valor del parámetro m :
m 0
1
8, ∞
Solución {−1} ∅
60
1
8
2a
. Resumimos en una tabla las
{ 2m−1
2m } {
1 −∞ ,
8 −{0}
2m−1± 1−8m
2m
}