MATEMÁTICAS - Ministerio de Educación

AC =1,1
CA=−AC=−1,−1
DB= b – a ya que sería la suma del vector b y el vector −a , por tanto en esta base:
DB=−1,1
MA=− 1 1
∙a−
2 2 ∙b y sus componentes serán:
MB=− 1 1
∙a
2 2 ∙ b y sus componentes serán:
MA=
1
−1 ,−
2
MB=
1 1
− ,
2
2
2
MC = 1 1
∙a
2 2 ∙b y sus componentes serán: MC = 1 1
,
2 2
Por último la suma de los tres últimos vectores será la suma de sus componentes:
MAMBMC= −1
1 1 1 1 1 1
,−
2 2 −1 ,
2 2 , =− ,
2 2
2. Las aristas del cubo de la siguiente figura miden 3 unidades. Calcular las coordenadas de
todos sus vectores que aparecen si unimos todos los puntos dados con el punto O y calcular
usando cálculo vectorial el área del triángulo ACE.
Solución:
Tenemos tres dimensiones en el espacio consideramos los ejes con origen en el punto O por
lo que tendremos las siguientes coordenadas para los vectores pedidos:
OA=3,0,0,OB=3,3,0,OC=0,3,0
OD=0,3,3 ,OE=0,0,3 ,OF=3,0,3
OG=3,3,3
Para calcular el área del triángulo ACE acudimos a la interpretación geométrica del producto
vectorial, ya que si dos vectores son linealmente independientes, como es el caso de los
vectoresAE y AC el paralelogramo construido sobre ellos tiene un área que coincide con el
módulo del producto vectorial de los dos vectores. El triángulo sombreado coincide con la
mitad de dicho paralelogramo, por tanto:
Área del triángulo: A= 1
2 ∣AE xAC∣
Calculamos los vectoresAE yAC :
AE=0,0,3–3,0,0=−3,0,3;AC=0,3 ,0 –3,0,0=−3,3,0
Y su producto vectorial será:
∣
i j k
0∣ −3 0 3 =−9,9 ,−9
−3 3
El módulo de el producto vectorial:
−9 2 −9 2 −9 2 =15,59
Por lo que el área del triángulo será la mitad de este módulo, medido en unidades al
cuadrado: Área del triángulo ACE = 7,795 u2 152
2
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