MATEMÁTICAS - Ministerio de Educación

Tema 2
Teoría de conjuntos
CONCEPTOS BÁSICOS
Conceptos básicos: elemento, cardinal, relación de pertenencia.
Inclusión. Subconjunto.
Conjunto universal. Conjunto vacío. Partes de un conjunto.
Diagramas de Venn.
Operaciones: unión, intersección y complemento. Propiedades. Operaciones derivadas.
Leyes de Morgan.
Partición de un conjunto
Conjuntos numéricos y relaciones entre ellos.
Intervalos de la recta real: nomenclatura, representación y operaciones
PROBLEMAS RESUELTOS
1. Sean U = { 1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,23,25}, A = { x є U / x es múltiplo de 3 }, B = { x є U / x
es múltiplo de 5 }. Comprobar las leyes de Morgan.
Solución:
Comenzamos especificando los dos conjuntos A y B, escribiéndolos por extensión. Así:
A = { 3, 9, 15, 21} y B = { 5, 15, 25}
Las leyes de Morgan para conjuntos son:
a) A '∪B' = A∩B'
b) A '∩B' = A∪B'
Así, debemos determinar los conjuntos contrarios de A y B, para proseguir con las uniones e
intersecciones indicadas.
A' = { 1, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 25 }
B' = { 1, 3, 7, 9, 11, 13, 17, 19, 21, 23 }
Pasemos a comprobar la primera ley. Para ello debemos verificar que los conjuntos A '∪B' y
A∩B' están constituidos por los mismos elementos :
A '∪B' = { 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 17, 19, 21, 23, 25}
A∩B = { 15} A∩B' = { 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 17, 19, 21, 23, 25}
Luego A '∪B' = A∩B'
Comprobemos ahora la segunda ley. Ahora tenemos que verificar que los conjuntos A '∩B' y
A∪B' tienen los mismos elementos:
A '∩B' = { 1, 7, 11, 13, 17, 19, 23 }
A∪B = { 3, 5, 9, 15, 21, 25} A∪B' = { 1, 7, 11, 13, 17, 19, 23 }
Luego A '∩B' = A∪B'
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