MATEMÁTICAS - Ministerio de Educación

c) El arcCA está limitado por los lados del ángulo inscrito , por lo que
75 0 == 1
2 arcCA , es decir arcCA=150 0 . Por supuesto, esta última igualdad nos
informa de la medida del ángulo central que limita al arco cuyos extremos son los punto C
y A, medido en sentido contrario al seguido por las agujas del reloj.
Denotemos por dicho ángulo central, entonces la longitud del arco mide
l = ⋅30
⋅150=25 cm.
180
2. Determinar el área de un círculo inscrito en un triángulo rectángulo, sabiendo que la altura
sobre la hipotenusa divide a ésta en dos segmentos de longitudes 25,6 cm y 14,4 cm.
Solución:
El centro de la circunferencia inscrita en un triángulo
equidista de los lados del triángulo, por tanto dicho
centro pertenece a las bisectrices de los ángulos internos
del triángulo.
Si trazamos los segmentos que tengan un extremo en el
centro de la circunferencia y el otro extremo en uno de
los vértices del triángulo, entonces dividimos el triángulo
en otros tres triángulos. Si consideramos como base de cada uno de ellos a los lados del
triángulo, sus respectivas alturas coinciden con los radios de la circunferencia inscrita.
La suma de las áreas de dichos triángulos es igual al área, S , del triángulo rectángulo dado,
esto es S= 1
a⋅Rb⋅Rc⋅R. Pero p=abc es el perímetro del triángulo, por lo que
2
podemos escribir que S = 1
2 p⋅R.
Los datos que nos dan son precisamente las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa,
n=25,6 cm y m=14,4 cm.
La hipotenusa: c=25,614,4=40 cm.
Según el Teorema de Euclides:
a 2 =m⋅c=14,4⋅40=576
b 2 =n⋅c=25,6⋅40=1124
de lo que se deduce que a=24 cm y b=32cm. Por lo tanto,
el perímetro es p=96 cm y el área del triángulo es:
S= 1
2 24⋅32=384cm2 .
Teniendo en cuenta que S= 1
2 p⋅R , se obtiene que R=8 cm , y así el área del círculo es
SO=⋅8 2 =64 cm 2 .
3. Se considera un triángulo equilátero ABC de 2 cm de lado. Con centro en el vértice A
trazamos un arco de circunferencia que pase por los vértices B y C. Con centro en el vértice B
trazamos otro arco de circunferencia que pase por los vértices A y C. Calcula el área de la
superficie encerrada por dichos arcos y la base AB del triángulo.
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