MATEMÁTICAS - Ministerio de Educación

Solución:
a)
f x
lím
x∞ gx =∞ −∞ . Es una indeterminación. No podemos saber cual es el límite de ese
cociente sin conocer las funciones f x y g x .
b)
j x 1
lím = =±∞ . No podemos saber si el límite será ∞ o −∞ , sin conocer hx ,
x∞ hx 0
esto no es una indeterminación porque solo puede darse uno de esos dos resultados.
c) lím [ g x·hx]=−∞·0 . Indeterminación.
x∞
d) lím [ f x− gx]=∞−−∞=∞
x∞
e)
h x 0
lím =
x∞ f x ∞ =0
f)
f x
lím
x∞ h x =∞ =∞ . Caso análogo al b)
0
g) lím j x
x∞
g x =1 −∞
. Indeterminación.
h) lím f x
x∞
g x =∞ −∞ = 1
∞ =0
4. Estudia la continuidad de esta función según los valores de a: f x={
2xa , x≤1
x 2 −ax2, x1
Solución:
La función es continua en x≠1 cualquiera que sea a, porque está formada por dos funciones
polinómicas. Estudiemos la continuidad en el punto de abscisa 1:
lím
x1 -
f x=2·1a=2a lím f x=1
+
x1 2 −a·12=3−a
Para que f x tenga límite en x=1 , ha de ser:
lím
x1 -
f x=lim f x2a=3−a a=
+
x 1 1
2
Por tanto:
• Si a= 1
2 , existe lím f x=
x 1
5
2 y este límite coincide con f 1= 5
, la función es continua.
2
• Si a≠ 1
, no existe lím f x . La función es discontinua, y en x=1 tendrá un salto finito.
2 x 1
5. Estudia la continuidad de la función siguiente: y= x3 −2x 2 x−2
x 2 −x−2
Solución:
Hallamos las raíces del denominador. Son x=−1 y x=2 . En estos puntos no está definida la
función. Estudiaremos el límite de la función en esos puntos:
x
lím
x−1
3 −2x 2 x−2
x 2 − x−2 =±∞
Si x −1 - , y−∞ y si x −1 + , y ∞
x
lím
x 2
3 −2x 2 x−2
x 2 0
=
− x−2 0 =lím
x
x 2
2 1x−2 5
=
x1 x−2 3
La función es discontinua en x=−1 y en x=2 porque no esta definida en esos puntos.
En x=−1 tiene una discontinuidad infinita y, por tanto, una asíntota vertical.
En x=2 tiene una discontinuidad evitable porque existe límite finito en ese punto.
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