MATEMÁTICAS - Ministerio de Educación

2x=0⇒ x=0
x 2 3=0 sin solución en ℝ
Para calcular los intervalos de concavidad y convexidad, dividimos el eje en intervalos
teniendo en cuenta los puntos de discontinuidad, una vez tenemos los intervalos miramos el
signo de la función derivada segunda, si es positivo la función es cóncava(U) y si es negativo la
función es convexa (∩). Lo escribiremos en forma de tabla, igual que antes podríamos no
calcular los dos primeros intervalos:
Calculamos los puntos de inflexión: f ' ' x=0 ; 2xx 2 3=0 ⇒{
Intervalo −∞ ,−1 −1,0 0,1 1,∞
f ' ' x - + - +
f x convexa (∩) cóncava (U) convexa (∩) cóncava (U)
En el punto x=0 la función pasa de ser cóncava a ser convexa, por lo tanto (0, 0) es un punto
de inflexión.
• Representación gráfica.
Ya podemos unir toda la información de la función para dibujarla. Lo primero es marcar los
puntos conocidos, después se dibujan las asíntotas (si las hay) y para finalizar se traza la
gráfica teniendo en cuenta la información de que disponemos.
4. Estudia y representa gráficamente la siguiente función: f x= x
ln x
Solución:
• Dominio. Continuidad. Puntos de corte con los ejes.
La función logaritmo sólo está definida para los valores positivos de x. Los puntos donde se
anula el denominador no pertenecen al dominio: ln x=0⇒ x=1 , entonces el dominio de la
función es: Dom [ f x]=0,1∪1,∞ .
Hay una discontinuidad en el punto x=1 que será una asíntota vertical.
Corte con el eje Y (x = 0): no existe porque f(0) no está definida.
Corte con el eje X (y = 0): 0= 0
ln 0 ⇒ x=0 , pero en el punto x = 0 no está definida, no hay.
• Simetrías. Periodicidad.
No hay simetrías ni periodicidad por la propia definición de la función, no hace falta estudiarlo.
• Asíntotas.
Horizontal: lim
x∞
x
f x= lim =∞ ; no tiene asíntota horizontal.
x ∞ ln x
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