MATEMÁTICAS - Ministerio de Educación

10. Discute aplicando el teorema de Rouche-Fröbenius y resuelve, si es posible, aplicando la regla
de Cramer, los siguientes sistemas de ecuaciones:
x y−z=−2
x y=1
2x− y−3z=−3
my z=0
x−2y−2z=0 xm1 ymz=m1
Solución:
a) {
b) {
1 1 −1
a) Calculamos el rango de la matriz de coeficientes A= 2 −1 −3
1 −2 −2 como 1 1 ∣2 −1∣ ≠0,
ranA=2
1
Hallamos el rango de la matriz ampliada A´= 2
1
1
−1
−2
−1
−3
−2
−2
−3
0 como ∣
1
2
1
1
−1
−2
−2
∣ −3
0 ≠0,
ranA ´=3
Como ran A ≠ ran A ´ , el sistema es incompatible.
1
b) Estudiamos el rango de la matriz de coeficientes A= 0
1
1
m
m1 m
0
1 , ∣A∣ = m2 ∣A∣ =0 para m=0,m=1 .
-m=m(m-1),
• Si m ≠ 0 y m ≠ 1 , ran A=3=ran A´ .El sistema es compatible determinado.Para cada
valor de m distinto de 0 y de 1, tenemos un sistema con solución única:
1 1 0
0 m 1
m1 m1
x=∣ m∣
m 2 1 1
y=∣ m∣
0
0 0 1
1 m1
−m
m 2 1 1 1
0 m 0
1 m1
z=∣
m1∣
−m
m 2 −m
Solución : m
•
−1 m
, ,
m−1 m−1 m−1
1 0
Si m=0 → ∣ ≠0 → ranA=2 , como en A´hay dos filas iguales, ran A=2=ran A ´
0 1∣
,por lo tanto el sistema es incompatible inderteminado.
Para resolverlo , tomamos las dos primeras ecuaciones y pasamos x al segundo miembro:
x=ʎ , y=1−ʎ , z=0 .
•
1
Si m=1 → ∣0 1
1∣ ≠0 → ran A=2 , A´=
1
0
1
1
1
2
0
1
1
1
2 0 → ∣
1
0
1
1
1
2
1
2∣ 0 ≠0 → ranA ´=3 .
Como ran A≠ ran A ´ , el sistema es incompatible.
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