MATEMÁTICAS - Ministerio de Educación

Veamos que ∀ n∈ℕ ,2∣n⇒ 2∣n 2 . Partimos de las hipótesis n∈ℕ y 2∣n. Entonces existe
un número natural p tal que n=2 p. Teniendo en cuenta la última igualdad, resulta que
n 2 =2 p 2 =4 p 2 =2⋅2 p 2 , por lo que podemos afirmar que 2∣n 2 .
Nos queda por demostrar que la segunda implicación, ∀ n∈ℕ ,2∣n 2 ⇒ 2∣n, es cierta,
pero el proceso a seguir es el mismo que en ľ.a), poniendo 2 en lugar de 3.
Esta parte se deja como ejercicio para el lector.
Nota: La demostración de b) se puede hacer también por el método de inducción ya que es
una propiedad que depende de los números naturales.
4. Demuestra las siguientes afirmaciones:
a) ∀ n∈ℕ:1 2 2 2 3 2 ...n 2 nn12 n1
=
6
b) ∀ n∈ℕ :3∣2 2n −1
Solución:
Puesto que la propiedad depende de los números naturales, puede ser demostrada por el
método de inducción. Este método, apoyado en lo que se conoce con el nombre de “Axiomas
de Peano”, consiste en:
▪ 1º) comprobar que la afirmación es cierta para n=1,
▪ 2º) suponer que existe un cierto número natural k tal que, para cualquier natural
n≤k , y en particular para k , se verifica la propiedad a demostrar
▪ 3º) demostrar que la afirmación es cierta para el siguiente de k , que es k1.
a) Para claridad del proceso, sean P n=1 2 2 2 ...n 2 nn12 n1
y Q n= .
6
▪ 1º) Veamos que para n=1 es P 1=Q1. En efecto, como el primer miembro tiene
tantos sumandos como indica el valor de n , P 1=1 2 =1.
Por otra parte, Q1= 1112⋅11
=
6
6
6 =1,
con lo que hemos comprobado que la igualdad se verifica en el caso en el que n valga
1.
▪ 2º) Supongamos que existe un número natural k tal que, para cualquier natural nk ,
se verifica la igualdad. Entonces, en particular, se cumple P k =Q k , es decir,
1 2 2 2 3 2 ...k 2 k k1 2 k1
=
6
▪ 3º) Veamos que P k1=Q k1 , para lo cual calcularemos por separado cada uno
de los miembros:
P k1=1 2 2 2 …k 2 k1 2 k k1 2k1
= k1
6
2
Si efectuamos la suma de fracciones:
kk12 k16 k12
P k1=
6
Si sacamos factor común k1 y efectuamos:
k1[k 2 k16k1]
P k1= =
6
k1 2k2 7 k6
6
Calculemos ahora el segundo miembro:
k1k112 k11
Q k1= =
6
k1 k22 k3
6
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