MATEMÁTICAS - Ministerio de Educación

Ahora calculamos Q , el punto de corte de la recta r y el plano . Para ello sustituimos las
ecuaciones parametricas de la recta r en el plano :
3336−2646=0⇒ 467=0⇒ = −7
46
El punto de corte lo calculamos sustituyendo este valor de en la recta
Q= 117 134 177
,− ,
46 46 46
La distancia pedida es el módulo del vectorQP
QP= 21 42 7
21
, , ⇒ d
46 46 46
=∣QP∣=
La distancia entre el punto P y el plano es 7
46 u
2
46
42
2
46
7
2
46
3. Calcula la distancia del punto P 6,−3,4 a la recta r :{ 2 x− y2 z=−3
3 x− yz=4
Solución:
= 7
46
Lo primero que vamos a hacer es poner la recta en paramétricas y para ello resolvemos el
sistema compatible indeterminado por Cramer.
{ 2 x− y=−3−2 z
3 x− y=4−z
Si z= . Entonces tenemos el sistema:
{ 2 x− y=−3−2
3 x− y=4−
2 −1 2 −1
A=3 −1⇒∣A∣=∣ 3 −1∣ =1
−1
∣−3−2 4− −1∣
x= =32 4−=7
1
−3−2
∣2 3 4− ∣
y= =8−296=174 con ∈ℝ
1
z=
La distancia entre el punto P y la recta r es la distancia entre P y Q , en donde Q es el punto
de corte de la recta r y la perpendicular a dicha recta que pasa por P . Como el punto Q
pertenece a la recta r sus coordenadas son de la forma:
Q7 ,174 ,
Y por lo tanto el vectorPQ es:
PQ=1 ,204 ,−4 .
El vector director de la recta r y el vectorPQ deben ser perpendiculares y así su producto
escalar debe ser nulo.
PQ⋅v r =1 ,204 ,−4⋅1,4 ,1=0 ⇒18016 −4=0
Luego = −77
18
y la distancia pedida es:
d =∣PQ∣=1−77 2
18
2
308
20−
18
166
2
18
−4− 77
= 28.386
18
≈9,36 u