MATEMÁTICAS - Ministerio de Educación

Al ser iguales los grados del resto y del divisor, podemos continuar la división procediendo de la
misma manera, averiguando el monomio que multiplicado por 3 x 2 nos de el primer término del
actual resto; claramente, el monomio buscado es − 5
3 , que multiplicado por 3 x 2 −1 nos da
−5x 2 5
. Colocamos el opuesto de este binomio debajo del resto
3
anteriormente obtenido y nos queda :
2 x 3 −5 x 2 −2x 3 :3 x 2 −1 = 2
3 x−5
3
3
−2 x
2
3 x
−5 x 2 − 4
x 3
3
5x 2 − 5
3
− 4 4
x
3 3
Y la división está acabada, ya que el resto es un polinomio de grado menor que el grado del
divisor y se pretende obtener en el cociente un polinomio. Por tanto, podemos escribir:
2 x 3 −5 x 2 −2x3
3x 2 =
−1
2
3
5. Desarrollar el binomio x
4
2
−
2 x .
Solución:
0 an
1 an−1
x− 5
3
2 an−2
4 4
x
3 3
−
3 x 2 .
−1
Para obtener el desarrollo, utilizaremos la fórmula de Newton:
a±b n =n ±n b n
b 2 ±...±n .
en la que los números combinatorios que aparecen en los coeficientes corresponden,
respectivamente, a los números que aparecen en la fila n del triángulo de Pascal.
Los elementos que aparecen en la cuarta fila del triángulo de Pascal son 1, 4, 6, 4 y 1. Así
x
4
2
−
2 x =1⋅ x
4
2 −4⋅ x
3
2
2 x
2 6⋅ x 2 2
2
x −4⋅ x
2 2
3
x 1⋅ 2
4.
x
Efectuamos cada una de las potencias:
x
4
2
−
2 x = x 4
2
−4⋅x3
4
2 2
3⋅
x 6⋅x2
22
2
2⋅
x 2−4⋅x
23 24
⋅
2 x
3 . 4 x
Pero x 2 = x , x 3 =x x y x 4 = x 2 , por tanto:
x
4
2
−
2 x = x 4
2
−4⋅x3
4
2 2
3⋅
x 6⋅x2
2 2⋅22 x −4⋅x
2
Podemos simplificar en algunos términos, y queda:
x
4
2
−
2 x
= x4
16
x3 16
− 6 x−
x x
53
⋅ 23
16
. 2
x
x x
n bn
24
. 2
x