MATEMÁTICAS - Ministerio de Educación

internos opuestos, por ejemplo el y el . Puesto que ambos ángulos, respecto de la
circunferencia, son ángulos inscritos, entonces cada uno de ellos mide la mitad del arco
que abarca.
Para facilitar la escritura, denotemos por arcBC arc CD el arco que abarca el
ángulo y por arc DAarc AB el arco que abarca el ángulo . Entonces:
= 1
1
arc BCarcCD y = arc DAarcAB
2 2
Por tanto = 1
1
arcBC arc CDarc DAarc AB=
2 2 ⋅3600 =180 0 .
• 2º Supongamos ahora que tenemos un cuadrilátero convexo ABCD tal que la suma de
dos ángulos internos opuestos mide 180 o . Consideremos la circunferencia circunscrita
al triángulo ABC , entonces el vértice D puede estar sobre la circunferencia, o ser
interior a la misma o ser exterior:
Si el vértice D está sobre la circunferencia, entonces el
cuadrilátero ya es inscribible.
Supongamos que el vértice D es exterior a la circunferencia, tal como se muestra
en la figura de la izquierda. Puesto que y son ángulos inscritos en la
circunferencia y =180 0 , podemos escribir :
1
2
decir arc BC arc CE 2⋅arc EF arc FAarc AB=360 0 .
Por otra parte arc ABarc BC arcCE arcEF arcFA=360 0 .
Si restamos ambas expresiones obtenemos que arc EF =0,
De lo que se deduce que los puntos E y F coinciden entre sí y
con el punto D.
De lo anterior concluimos que el punto D está sobre la
circunferencia.
arcBC arc CE arcEF 1
2 arc EF arc FAarc AB=1800 , es
Supongamos ahora que el vértice D es interior a la circunferencia, tal como se
muestra en la figura de la derecha. Se procede de forma análoga y también se
concluye que D está sobre la circunferencia.
b) Si denotamos por r al radio de la circunferencia, entonces la longitud de la circunferencia
viene dada por la expresión l=2 r , la longitud correspondiente a un ángulo central de
2 r r
un grado viene dada por l 0= = 1 y la longitud correspondiente a un ángulo
360 180
r
central se calcula mediante la expresión l =
180 ⋅ , siempre que el ángulo esté
medido en grados sexagesimales.
Como el cuadrilátero dado está inscrito en una circunferencia, =180 0 . Teniendo en
cuenta la anterior igualdad y que −=120 0 , se obtiene que =150 0 y =30 0 . De
=
2 se deduce que =750 . Pero la suma de los ángulos internos de un cuadrilátero
vale 360 0 , por lo que x=105 0 .
134