MATEMÁTICAS - Ministerio de Educación

Solución:
Llamemos A al suceso “el alumno ha elegido la modalidad A”. De forma análoga definimos los
sucesos B y C. Llamamos I al suceso “el alumno ha elegido estudiar inglés”, análogamente se
define el suceso F. Del enunciado sabemos que:
P A=0,5 P I∣A =0,8
P B =0,3 P I∣B =0,9
P C =0,2 P I∣C =0,75
Como I =F entonces
P F∣ A =0,2
P F∣ B =0,1
P F∣ C =0,25
a) Los sucesos A, B y C son un recubrimiento disjunto del espacio muestral, es decir,
A∪ B∪C = y A∩ B=∅ B∩C=∅ y A∩C=∅ luego podemos aplicar el teorema de
la probabilidad total para calcular la probabilidad del suceso F.
P F =P A · P F∣ A P B· P F∣ B P C · P F∣ C =0,5·0,20,3·0,10,2·0,25=0,18
Estudian francés en el instituto el 18% de los alumnos.
b) Hay que calcular la probabilidad del suceso A∣F .Aplicando el teorema de Bayes
P A∣ F = P F∣A · P A
=
P F
0,2·0,5
0,18 =0, 5 . Luego, la probabilidad de que un alumno que
estudie francés haya elegido la modalidad A es 0, 5
5. A un cumpleaños asisten 23 personas, ¿Cuál es la probabilidad de que haya al menos dos
personas en esa fiesta que cumplan años el mismo día?
Solución:
Llamemos A al suceso “hay al menos dos personas en la fiesta que cumplen años el mismo
día”. El suceso complementario de A es “Que todos en la fiesta cumplan años en días
distintos”.
En este problema resulta mucho más sencillo calcular los casos favorables de A que los de A.
Los casos posibles son todas las formas de elegir 23 días entre los 365 días del año. Se puede
repetir el día elegido e importa el orden ya que cada uno de los 23 asistente a la fiesta es una
persona distinta. Por lo tanto, son variaciones con repetición de 365 días tomados de 23 en
23.
VR365,23 =365 23
Para contar los casos favorables de A estamos ante el mismo problema que el de los casos
posibles solo que ahora no puede haber repeticiones, luego son variaciones sin repetición de
365 días tomados de 23 en 23.
V 365,23=365·364·363··365−231=365·364·363·· 343= 365!
342!
Entonces tenemos que
P A=
365·364 ·363··343
= 364 ·363· ·343
≃0,4927
365 23
365 22
Y por tanto P A=1−P A≃0,507 . Es decir, la probabilidad de que al menos dos personas
cumplan años el mismo día es algo mayor del 50%
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