MATEMÁTICAS - Ministerio de Educación

Sustituyendo en la ecuación original:
senα∙ cos
– α 2
cos 2 α – 1∙ tan – α∙ cotan 2 – α =
−sen α∙ sen α
cos 2 1
α – 1∙ −tan α∙
−tan α
Las tangentes se simplifican. Si ahora acudimos al teorema fundamental de la
trigonometría 1=sen 2 αcos 2 α , podemos escribir cos 2 α−1 en función del seno, de
manera que todos los términos de la ecuación han quedado reducidos a una sola función,
el seno
cos 2 α – 1=– sen 2 α
Por lo tanto:
senα∙cos
– α 2
cos 2 α – 1∙tan – α∙cotg 2 – α =
−sen α∙sen α
cos 2 =
1
α – 1∙−tan α ∙
−tgα
−sen α∙sen α
−sen 2 α =1
b) De nuevo reducimos al ángulo de primer cuadrante y si escribimos todos los términos
posibles en función de una sola de las razones trigonométricas:
secα= 1
cos α
cos180−α=−cos α
tan 180−α=−tan α
cotan 360−α=−cotan α=− 1
tan α
Sustituyendo en la ecuación inicial:
−tan α ∙ −1
tan α
1
cos α ∙−cosα
=−1
6. Resolver las siguientes ecuaciones trigonométricas:
a) cos 2x=1sen x
b) cos x=sen 2x
Solución:
Vamos a usar las ecuaciones que transforman las razones trigonométricas de los ángulos
α β y α− β en función de las razones trigonométricas de los ángulos α y β, pero
teniendo en cuenta que en este caso los ángulos son iguales así que utilizaremos las
ecuaciones de los ángulos dobles:
sen 2α=2∙sen α ∙cosα
cos 2α=cos 2 α−sen 2 α
a) Usamos el teorema fundamental de la trigonometría para que todos los términos queden
en función de la misma razón trigonométrica: sen 2 xcos 2 x=1 → cos 2 x=1– sen 2 x
1– sen 2 x – sen 2 x=1sen x
2 sen 2 xsen x=0 → sen x 2sen x1=0
Por lo tanto uno de los dos factores debe ser cero:
x=0360º ∙k
• sen x=0 → { con k ∈ℤ
x=180º360º ∙k
• 2sen x1=0 → sen x=− 1
2 → x=210º360º ∙ k
{ con k ∈ℤ
x=330º360º ∙ k
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