MATEMÁTICAS - Ministerio de Educación

Solución:
Puesto que los puntos M, N y C están en el plano secante,
los segmentos MN y NC también están contenidos en el
plano secante y, respectivamente en las caras EFGH y
DCGH. La recta paralela al segmento MN que pasa por el
punto C está contenida en el plano secante ya que el punto
C pertenece al plano secante. Esa paralela corta a la arista
AD en un punto P. Puesto que el triángulo MHN tiene los
lados paralelos al triángulo PDC, estos dos triángulos han
de ser semejantes. El triángulo MHN es isósceles, por tanto
el triángulo PDC también lo es, con lo que el punto P tiene
que coincidir con el punto A. La sección ACMN producida
por el plano CMN en el cubo es un trapecio ya que tiene
cuatro lados y dos de ellos son paralelos.
El triángulo MHN es recto en H y sus catetos miden
respectivamente 3 cm, por tanto la hipotenusa, según el
Teorema de Pitágoras, mide 32 cm. El lado AC coincide con
la diagonal del cuadrado ABCD y por eso mide 62 cm. El
lado NC coincide con la hipotenusa del triángulo rectángulo
CGN, cuyos catetos miden respectivamente 3 y 6 cm, con lo
que el lado NC mide 3 5 cm. Siguiendo un razonamiento
similar, obtenemos que el lado AM mide también 3 5 cm.
En consecuencia el trapecio ACMN es isósceles.
El cubo ha quedado dividido en dos cuerpos y uno de ellos, el ACDMNH, es un tronco de
pirámide de 6 cm de altura. Las rectas que contienen respectivamente a los segmentos AM y
BN cortan a la recta que contiene a la arista DH en un punto V. De esta forma construimos la
pirámide que corresponde al tronco de pirámide ABDMNH, cuya altura mide 6 x cm.
Teniendo en cuenta que los triángulos VHN y VDB son semejantes, podemos escribir 6
,
3 =6x
x
de lo que se deduce que x=6 cm. El volumen del tronco de pirámide coincide con la cantidad
que resulta de restarle el volumen de la pirámide MNHV del volumen de la pirámide ABDV. Así
obtenemos que el tronco de pirámide tiene una capacidad de 63 cm 3 . Si efectuamos 6 3 −63,
obtenemos el volumen del otro cuerpo en el que ha quedado dividido el cubo, esto es 153 cm 3 .
5. Una torre con cúpula está formada por un cono truncado, cuyas bases miden 6 y 3 m
respectivamente y 4 m de altura. El casquete esférico que forma la cúpula tiene un radio de 3
m y una altura de 1 m. Calcula su superficie.
Solución:
Haciendo uso del Teorema de Pitágoras, tenemos que
R 2 =3 2 R−1 2 , de donde se obtiene que el radio de la esfera
es R=5 m. Por tanto la superficie del casquete esférico es
S=2 ⋅5⋅1=10 m 2 .
La generatriz, g , del tronco de cono, haciendo uso del Teorema
de Pitágoras, es g =3 2 4 2 =5 m. Así, la superficie del tronco
de cono es S=⋅36⋅5=45 m 2 .
La suma de ambas superficies es 55 m 2 , que corresponde a la
superficie de la torre.
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