MATEMÁTICAS - Ministerio de Educación

La división de 1– x entre x – 1 es –1, ya que 1– x es el opuesto de x –1. Así:
1− x 2
3x 2 −x−2 =−1x
3 x2 =−1−x
3x2 .
3
Razonando de la misma forma que en el apartado anterior, x∈ℝ−{
− ;1}
.
2
3. Halla el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo de los polinomios
2x 3 −x 2 −8x4 y x 3 −4 x 2 4x.
Solución:
Denotemos respectivamente por P x y Q x a los polinomios 2x 3 −x 2 −8x4 y x 3 −4 x 2 4x.
Para calcular el máximo común divisor (mcd) y el mínimo común múltiplo (mcm) de varios
polinomios, se procede de la misma forma que para el caso de números enteros, esto es, se
descomponen en el máximo número de factores y, como el mcd debe ser el polinomio de
mayor grado que divida a los polinomios dados, éste, el mcd, será el producto de los factores
comunes con su menor exponente. Por otra parte, como el mcm es el polinomio de menor
grado que sea divisible por cada uno de los polinomios dados, el mcm será el producto de los
factores comunes y los no comunes con su mayor exponente.
Para descomponer en factores el primer polinomio, podemos proceder como en el ejercicio 1. b)
o bien según el segundo método propuesto en 1. c). Optaremos en este caso por este último, así
sacaremos factor común x 2 de los dos primeros términos y – 4 de los dos últimos:
2x 3 − x 2 −8x4=x 2 2x−1−42x−1=2x−1 x 2 −4
Teniendo en cuenta los productos notables, x 2 – 4=x – 2 x2. Por lo tanto
2x 3 − x 2 −8x4=2x−1 x−2x2.
Podemos sacar factor común x en el polinomio x 3 −4 x 2 4x , con lo que
x 3 −4 x 2 4x=x x 2 −4 x4
Pero nuevamente, teniendo en cuenta los productos notables, x 2 – 4 x – 4= x−2 2 . Así:
x 3 −4 x 2 4x=x x−2 2 ,
obteniéndose: mcd P x,Qx= x−2 y mcmPx,Q x=x 2x−1 x2 x−2 2.
4. Efectúa la división 2x 3 −5 x 2 −2x3: 3x 2 −1
Solución:
El proceso a seguir es similar al seguido en la división de números reales, las únicas
diferencias son que hay que dividir término a término y que los coeficientes que aparezcan en
el divisor pueden ser racionales no enteros o irracionales.
Así tenemos que averiguar un monomio que multiplicado por el primer término del divisor
nos de 2x 3 , ese monomio es 2
3 x , que multiplicado por el divisor nos da 2 x 3 – 2
3 x. Como
no es fácil calcular mentalmente el resto, colocamos el producto cambiado de signo debajo
del dividendo y calculamos el resto
2 x 3 −5 x 2 −2x 3 :3 x 2 −1 = 2
3 x
3
−2 x
2
3 x
−5 x 2 − 4
x 3
3
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